Kezdőlap


Feladat:	589. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Door Ervin
Füzet:	1954/november, 107 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/február: 589. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Határozzuk meg a két egyenes metszéspontját.
A két egyenletből

\begin{matrix} 7 - y = 7 y - 33, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 8 y = 40, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = 5 és x = 7 - y = 2. \end{matrix}

Tehát a metszéspont

M (2, 5)

.
2. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, amelyek az első egyenestől ötször távolabb vannak, mint a második egyenestől:

\begin{matrix} \frac{x + y - 7}{\sqrt[]{1 + 1}} = \pm 5 \cdot \frac{x - 7 y + 33}{\sqrt[]{1 + 49}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{x + y - 7}{\sqrt[]{2}} = \pm 5 \cdot \frac{x - 7 y + 33}{5 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

A keresett geometriai hely tehát a következő két egyenes:

\begin{matrix} x + y - 7 = x - 7 y + 33, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} y = 5, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x + y - 7 = - x + 7 y - 33, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x - 3 y = - 13. \end{matrix}

(2)

3. Legyen a keresett kör középpontja

O (u, v)

és sugara

r

, akkor a feladat szerint:
a) A kör átmegy az

M (2, 5)

ponton, vagyis

\begin{matrix} {(u - 2)}^{2} + {(v - 5)}^{2} = r^{2} \end{matrix}

(I)

b) A kör középpontja rajta van a (1), ill. (2) egyeneseken:

\begin{matrix} v = 5, \end{matrix}

(II. 1)

illetőleg

\begin{matrix} u - 3 v = - 13. \end{matrix}

(II. 2)

c) A keresett kör az adott kört derékszögben metszi. Ha tehát a két kör metszéspontját összekötjük a körök középpontjával, derékszögű háromszöget nyerünk, amelynek befogói a két kör sugara és átfogója a két kör középpontjának távolsága.
Az adott kör egyenlete így írható

\begin{matrix} {(x - 14)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 40, \end{matrix}

és így Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} {(u - 14)}^{2} + {(v + 3)}^{2} = r^{2} + 40. \end{matrix}

(III)

Ezzel

u

v

és

r

meghatározására három egyenlettel rendelkezünk. (I) és (III)-ból

\begin{matrix} {(u - 2)}^{2} + {(v - 5)}^{2} = {(u - 14)}^{2} + {(v + 3)}^{2} - 40, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 3 u - 2 v = 17. \end{matrix}

(IV)

(IV) és (II. 1) szolgáltatja az (I), (II. 1) és (III) egyenletek

\begin{matrix} u = 9, v = 5, r = 7 \end{matrix}

közös gyökrendszerét, míg a (IV) és (II. 2) adja az (I), (II.2), (III) egyenletrendszer gyökeit:

\begin{matrix} u = 11, v = 8, r = \sqrt[]{90} . \end{matrix}

Tehát két megoldás van

\begin{matrix} {(x - 9)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 49 és {(x - 11)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 90. \end{matrix}

Door Ervin (Bp., VIII., Széchenyi g. IV. o. t.)