Kezdőlap


Feladat:	587. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fuchs Tamás
Füzet:	1954/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 587. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) 5-szöröséhez hozzáadva (2) 3-szorosát és 2-vel mindkét oldalt osztva, nyerjük, hogy

\begin{matrix} 71 x - 52 z = 199, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} z & = \frac{71 x - 199}{52} = x - 3 + \frac{19 x - 43}{52} = x - 3 + t, \\ x & = \frac{52 t + 43}{19} = 2 t + 2 + \frac{14 t + 5}{19} = 2 t + 2 + u, \\ t & = \frac{19 u - 5}{14} = u + \frac{5 u - 5}{14} = u + 5 \cdot \frac{u - 1}{14} = u + 5 v, \\ u & = 14 v + 1. \end{matrix}

Visszahelyettesítve

\begin{matrix} t & = 14 v + 1 + 5 v = 19 v + 1, \\ x & = 38 v + 2 + 2 + 14 v + 1 = 52 v + 5, \\ z & = 52 v + 5 - 3 + 19 v + 1 = 71 v + 3. \end{matrix}

(1)-ből

\begin{matrix} y = \frac{61 - 17 x + 28 z}{15} = \frac{61 - 17 (52 v + 5) + 28 (71 v + 3)}{15} = \frac{1104 v + 60}{15} = \\ = \frac{368 v + 20}{5} = 73 v + 4 + \frac{3 v}{5} = 73 v + 4 + 3 w, \\ v = 5 w \end{matrix}

Ismét visszahelyettesítve

\begin{matrix} y & = 368 w + 4, \\ x & = 260 w + 5, \\ z & = 355 w + 3. \end{matrix}

Hogy

x

y

és

z

háromjegyű legyen annak szükséges és elégséges feltétele nyilván, hogy

w = 1

, ill.

w = 2

\begin{matrix} w = 1 esetén & x = 265, & y = 372, & z = 358; \\ w = 2 esetén & x = 525, & y = 740, & z = 713. \end{matrix}

Fuchs Tamás (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)