Kezdőlap


Feladat:	585. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zawadowski Alfréd
Füzet:	1954/október, 53 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 585. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kiszámítandó pálya $A D + \hat{D F} + F C$ . Ábrát l. a 175. gyakorlatnál is a 40. oldalon. $A D$ a feladat szerint $6$ km. Tehát csak a $\hat{D F}$ ívet és az $F C$ távolságot kell kiszámítani. Mindkettő könnyen kiszámítható, ha előbb a $B C E_{▵}$ -ben kiszámítjuk a $B E$ és $E C$ oldalakat.

Jelöljük a

B C E_{▵}

szögeit rendre

β

γ

és

ε

-nal. A

B C E_{▵}

-ből adva van

B C = 8, 8

km és

ε = 105^{\circ}

. A

β

nem egyéb mint az

A B C_{▵}

B ∢

-ének külső szöge.
Tehát munkatervünk:
1.) Kiszámítjuk az

A B C_{▵}

-ben cosinus-tétellel a

B ∢

-et, ebből

β

-t és

γ

-t.
2.) A

B C E_{▵}

-ben sinus-tétellel a

B E

és

E C

oldalakat.
3.)

E D = E F = B E - 1

km. Az

O D E

derékszögű háromszögből kiszámítjuk az

O D

oldalt, amely a

\hat{D F}

ív sugara.
4.) Kiszámítjuk a

\hat{D F}

ívhosszát.
5.)

F C = E C - E F

.
1.)

B ∢

kiszámítására felhasználhatjuk a cosinus-tételből levezethető

cos B = \sqrt[]{\frac{s (s - b)}{a c}}

képletet, ahol

s

a háromszög félkerülete. De ezen képlet ismerete nélkül, közvetlenül a cosinus-tétellel is meghatározható

cos B

.
Ugyanis a cosinus-tétel szerint

\begin{matrix} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \cdot B C cos B, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 A B \cdot B C} = \frac{5^{2} + 8, 8^{2} - 12^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8, 8} = \frac{25 + 77, 44 - 144}{88} = - \frac{41, 56}{88} . \end{matrix}

B

szögnek külső szögére nézve

cos β = \frac{41, 56}{88}

\begin{matrix} \begin{matrix} lg 41, 56 & = & 11, 6187 & - 10 \\ - & lg 88 & = & 1, 9445 \\ lg cos β & = & 9, 6742 & - 10 \\ β & = & 61^{\circ} 49' \\ és & γ & = & 180^{\circ} - & 105^{\circ} - 61^{\circ} 49' = 13^{\circ} 11' \end{matrix} \begin{matrix} 80 & 1, 1 \cdot 6 \\ 7 & 6, 6 \\ 87 \\ 42 & 54' \\ 30 & - 5' \\ 12 & : \frac{14}{6} = & \frac{72}{14} \sim 5, 1 & 49' \end{matrix} \end{matrix}

2.)

B E = \frac{B C sin γ}{sin ε} = \frac{8,8 sin 83^{\circ} 11'}{sin 75^{\circ}}

\begin{matrix} \begin{matrix} lg 8, 8 & = & 0, 9445 \\ + & lg sin 13^{\circ} 11' & = & 9, 3581 & - 10 \\ 10, 3026 & - 10 \\ lg sin 75^{\circ} & = & 9, 9849 & 10 \\ lg B E & = & 0, 3177 \\ B E & = & 2, 078 & km \end{matrix} \begin{matrix} 54 \\ 27 \\ 81 & \frac{32}{6} \cdot 5 = \frac{80}{3} \sim 26, 7 \\ 77 \\ 60 \\ 17 & 0 : 21 \sim 8, 1 \\ 20 \end{matrix} \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} E C = \frac{B C sin β}{sin ε} = \frac{8, 8 sin 61^{\circ} 49'}{sin 75^{\circ}}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} E C = 8, 032 km. \end{matrix}

3.)

E D = E F = B E - 1 = 2,078 - 1 = 1, 078 km

O D = E D tg \frac{ε}{2} = 1, 078 \cdot tg 52^{\circ} 30' = 1, 405 km

.
4.)

\hat{D F} = \frac{2 \cdot O D π \cdot 75}{360} = \frac{5 \cdot 1, 405 π}{12} = 1, 839 km

.
5.)

F C = E C - E F = 8, 032 - 1, 078 = 6, 954 km

.

Tehát az

A C

pálya keresett hosszúsága

\begin{matrix} A D + \hat{D F} + F C = 6 + 1, 839 + 6, 954 = 14, 793 km . \end{matrix}

Zawadowski Alfréd (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)