Kezdőlap


Feladat:	584. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fuchs Tamás , Lackner Györgyi
Füzet:	1954/október, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 584. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a kerékpáros kezdősebessége $x$ km/óra és tegyük fel, hogy elindulása után $t$ óra múlva találkozik a gyalogos csapattal. Ha megállás nélkül a kezdősebességgel haladt volna, akkor a találkozásig $t x$ km-t tett volna meg. A valóságban azonban $8$ km-t tett meg $\frac{8}{x}$ óra alatt, aztán $\frac{1}{6}$ óra szünet után $x + 2$ km/óra sebességgel $t - \frac{8}{x} - \frac{1}{6}$ óráig haladt. A gyalogos csapat a találkozásig megtesz $5 (t + 4, 4) = 5 t + 22$ km-t.
A feladat szerint

\begin{matrix} t x = 5 t + 22, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 8 + (t - \frac{8}{x} - \frac{1}{6}) (x' + 2) = 5 t + 22. \end{matrix}

(2)

(1)-ből

\begin{matrix} t = \frac{22}{x - 5}, \end{matrix}

amely értéket (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} 8 + (\frac{22}{x - 5} - \frac{8}{x} - \frac{1}{6}) (x + 2) = \frac{110}{x - 5} + 22, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{22 x - 66}{x - 5} - \frac{x}{6} - \frac{16}{x} - \frac{67}{3} = 0. \end{matrix}

Mindkét oldalt

6 x (x - 5)

-tel szorozva

(x \neq 0

x - 5 \neq 0)

\begin{matrix} 6 x (22 x - 66) - x^{2} (x - 5) - 96 (x - 5) - 134 x (x - 5) = 0, \end{matrix}

vagyis rendezve

\begin{matrix} x^{3} - 3 x^{2} - 178 x - 480 = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletnek

480

osztói között megtaláljuk az

x = - 3

gyökét. Az egyenlet többtagúját az

x + 3

gyöktényezővel osztva, jutunk az

\begin{matrix} x^{2} - 6 x - 160 = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlethez, melynek gyökei

16

és

- 10

.
Tehát az egyenlet

3

gyöke közül csak az

x = 16

km/óra felel meg a feladatnak.

Lackner Györgyi (Bp., V., Fonóip. techn. III. o. t.)

II. megoldás: Legyen a kerékpáros kezdősebessége

x

km/óra és a találkozási pont legyen az indulási ponttól

8 + s

km távolságban.
A gyalogos csapat

\frac{8 + s}{5}

óráig menetelt. A kerékpáros az utat

\frac{8 + s}{x}

óra alatt teheti meg. A feladat szerint

\begin{matrix} \frac{8 + s}{5} = 4, 4 + \frac{8 + s}{x}, \end{matrix}

(3)

A gumi elszakadásakor a kerékpáros

s

km-nyire volt a céltól.Ezt az utat

\frac{s}{x}

óra alatt tette volna meg, de tényleg

\frac{1}{6} + \frac{s}{x + 2}

óra telt el a találkozásig, vagyis a feladat szerint

\begin{matrix} \frac{s}{x} = \frac{1}{6} + \frac{s}{x + 2} \end{matrix}

(4)

(3)-ból

\begin{matrix} s = \frac{14 x + 60}{x - 5}, \end{matrix}

amely értéket (4)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{14 x + 40}{x (x - 5)} = \frac{1}{6} + \frac{14 x + 40}{(x + 2) (x - 5)}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x^{3} - 3 x^{2} - 178 x - 480 = 0 \end{matrix}

stb. mint az I. megoldásban.

Fuchs Tamás (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)