Kezdőlap


Feladat:	581. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Orlik Péter , Roboz Ágnes
Füzet:	1954/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/január: 581. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. megoldás: A feladat így is fogalmazható: Az első $n$ természetes szám összege $\frac{n (n + 1)}{2}$ lehet-e $111 k$ alakú?
Tehát az

\begin{matrix} \frac{n (n + 1)}{2} = 111 k \end{matrix}

(1)

határozatlan egyenletet kell megoldani, ahol

k = 1, 2, ..., 9

. (1) így írható

\begin{matrix} n^{2} + n - 222 k = 0, \end{matrix}

amiből a pozitív gyök

\begin{matrix} n = \frac{- 1 + \sqrt[]{1 + 888 k}}{2}, \end{matrix}

\sqrt[]{1 + 888 k}

-nak tehát páratlan egésznek kell lennie, vagyis

1 + 888 k

páratlan négyzetszám. Mivel négyzetszám

7

-re,

3

-ra és

2

-re nem végződhet; azért csak

k = 1, 3, 5, 6, 8

lehetséges.
Ezeket kipróbálva

k = 6

esetén

\begin{matrix} 1 + 888 k = 5329 = 73^{2} \end{matrix}

Tehát

n = \frac{- 1 + 73}{2} = 36

. A három számjegyű összeg

111 k = 666

Roboz Ágnes (Bp., VI., Varga K. lg. III. o. t.)

II. megoldás: (1) a következőképpen is írható

\begin{matrix} n (n + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 37 k \end{matrix}

(2)

A feladat szerint

\begin{matrix} 0 < \frac{n (n + 1)}{2} < 1000, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 0 < n^{2} < 2000, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 0 < n < 45. \end{matrix}

(3)

Mivel (2)-ben a baloldal:

n (n + 1)

szükségképpen osztható

37

-tel, azért (3) figyelembevételével, vagy

n = 37

, vagy

n + 1 = 37

.
Ha

n = 37

, akkor

38 = 6 k

, amely esetben

k

nem lehet egész.
Ha

n + 1 = 37

, akkor

n = 36 = 6 k

és

k = 6

Orlik Péter (Bp., V., Eötvös g. II. o. t.)