Feladat: 579. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bártfai P. ,  Biczó G. ,  Cserni A. ,  Csiszár I. ,  Deseő Z. ,  Edöcsény L. ,  Gaál István ,  Gergely P. ,  Goldstein E. ,  Kiss Péter ,  Kovács László ,  Makkai M. ,  Németh Lehel ,  Pátkai Gy. ,  Quittner P. ,  Rázga T. ,  Rédl Gy. ,  Rozsondai Z. ,  Siklósi P. ,  Tahy P. ,  Vértes P. ,  Vigassy J. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1954/október, 47 - 48. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/december: 579. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A kiválasztott játékos lapjában nincsen ász, tehát a többi 3 játékos között 24 lapot osztanak szét, amelyek közül négy ász és 20 nem ász. Számítsuk ki az ellentétes valószínűséget, vagyis mi annak valószínűsége, hogy a három játékos közül egyik sem kap két ászt. Utóbbi eset csak a 4, 0, 0 vagy 3, 1, 0 elosztás esetén következhet be.
Mikor egy játékos négy ászt kap, a kedvező esetek száma annyi, mint ahány 4-ed osztályú kombináció képezhető a 20 ász nélküli lapból, vagyis (204). Tekintetbe véve, hogy a négy ászt a három játékos bármelyike is kaphatja, a kedvező esetek száma (31) (204). A lehetséges esetek száma (248), és így annak valószínűsége, hogy a három játékos közül valamelyik négy ászt kap

v4=(31)(204)(248)=3201918171234567812342423222120191817=3523113=15759.


Hasonlóképpen annak valószínűsége, hogy a 3 játékos valamelyike 3 ászt kap
v3=(31)(43)(205)(248)=34201918171234567812342423222120191817==216623113=192759.



A feladatban keresett valószínűség tehát
1-(v4+v3)=1-207759=552759=8110,727.

Kiss Péter (Vak Bottyán g. III. o. t.)
 

II. megoldás: Közvetlenül is kiszámíthatjuk a keresett valószínűséget.
A kedvező elosztások: 2, 2, 0 és 2, 1, 1.
Az első eset valószínűsége
v2,2=(31)(42)(206)(248)(146)(168)=3240759730=168759.

A 2, 1, 1 elosztás valószínűsége pedig (az előbbi részeredmény figyelembevételével)
v2,1=3240759(21)(147)(168)=3240759815=384759.
Tehát a keresett valószínűség
v2,2+v2,1=168759+384759=552759=811.

Kovács László (Debrecen Református g. IV. o. t.)
 

III. megoldás: Ismeretes, hogy
vA/B=vABvB,
ahol B jelenti, hogy egy játékosnak nincsen ásza,
A jelenti, hogy egy játékosnak 2 ász jut,
AB jelenti a két esemény együttes bekövetkezését.
B esetben a kedvező esetek száma egy meghatározott játékosra nézve annyi, ahányféleképpen a 28 ász nélküli lapból 8 lap választható: (288), vagyis az összes kedvező esetek száma (41) (288).
AB esetben vegyük figyelembe, hogy az a tény, hogy az egyik játékosnak pontosan két ásza van, már maga után vonja, hogy legalább egy játékosnak nincsen ásza. Tehát minden olyan eset, amelyben egy játékosnak pontosan két ásza van már kedvező. Tehát az AB esetben a kedvező esetek száma (41) (42) (286).
Tehát
vAB=(41)(42)(286)(328),vB=(41)(288)(328),
és így
vA/B=(42)(286)(288)=811.

Gaál István (Csorna, Latinka S. g. IV. o. t.)