Kezdőlap


Feladat:	578. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabados József
Füzet:	1954/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Paraméteres egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 578. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a könyvek számát rendre $x$ , $y$ , $z$ -vel jelöljük, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} x + y + z = 187, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} \frac{11}{4} x + \frac{3}{2} y + \frac{1}{3} z = - 189, \end{matrix}

(2)

vagyis

33 x + 18 y + 4 z = 2268

, (

2'

)

és

4 x + 4 y + 4 z = 748

. (

1'

)

(

2'

)-ből (

1'

)-t kivonva

\begin{matrix} 29 x + 14 y = 1520. \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{1520 - 29 x}{14} = 108 - 2 x + \frac{8 - x}{14} = 108 - 2 x + t . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x = 8 - 14 t, y = 108 - 16 + 28 t + t = 92 + 29 t, z = 187 - x - y = 87 - 15 t . \end{matrix}

A feladatban szereplő megszorításokat figyelembe véve

\begin{matrix} \frac{11}{4} (8 - 14 t) > \frac{3}{2} (92 + 29 t) \end{matrix}

(3)

és

\begin{matrix} \frac{3}{2} (92 + 29 t) > \frac{1}{3} (87 - 15 t) . \end{matrix}

(4)

(3)-ból

44 - 77 t > 276 + 87 t, amiből - \frac{232}{164} > t .

(4)-ből

828 + 261 t > 174 - 30 t, amiből t > - \frac{654}{291} .

Tehát

\begin{matrix} - \frac{654}{291} < t < - \frac{232}{164}, \end{matrix}

amiből

t = - 2

,

és így

\begin{matrix} x = 8 - 14 t = 36, y = 92 + 29 t = 34, z = 87 - 15 t = 117 \end{matrix}

Szabados József (Bp. III., Árpád g. II. o.t.)