Kezdőlap


Feladat:	577. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Edelényi Miklós , Eördögh László
Füzet:	1954/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 577. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük a keresett kétjegyű számokat $x$ és $y$ -nal. Akkor a feladat szerint

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = 100 x + y = 99 x + x + y, \end{matrix}

vagyis, ha

x + y

helyébe

z

-t írunk,

\begin{matrix} 99 x = z^{2} - z = z (z - 1) \end{matrix}

(1)

ahol, mivel

z^{2}

négyjegyű

\begin{matrix} 32 \leq z \leq 99, \end{matrix}

és a feltétel szerint

\begin{matrix} 10 \leq x \leq 99. \end{matrix}

(1)-ből

\begin{matrix} x = \frac{z (z - 1)}{99} . \end{matrix}

Mivel

z

és

z - 1

szomszédos egész számok, nem lehet mindkettő 3-mal osztható, a

z = 99

feltevés pedig arra vezet, hogy

x = 98

és

y = 1

, amely utóbbi szám nem kétjegyű, azért

x

csak úgy lehet feladatunknak megfelelő kétjegyű egész szám, ha

z

és

z - 1

közül az egyik 9-cel, a másik 11-gyel osztható. (Megjegyezzük, hogy ha első jegynek 0-t is megengedünk, akkor

x = 98

y = 01

is megoldása a feladatnak.) Tekintsük először a

z = 9 u

és

z - 1 = 11 v

esetet, vagyis

\begin{matrix} 9 u = 11 v + 1 \end{matrix}

(2)

ahol, mint láttuk

\begin{matrix} 31 < 9 u < 99 és 30 < 11 v < 98. \end{matrix}

Könnyű a (2) alatti határozatlan egyenletnek egy megoldását megtalálni:

u = 5

v = 4

pl. egy megoldás, akkor mint tudjuk (lásd Surányi:

≫

Elsőfokú egyenletek egész megoldásai c.

≪

cikkének 14. pontját az 1953. novemberi 3‐4. sz. 72. oldalán).

\begin{matrix} u = 5 + 11 t és v = 4 + 9 t \end{matrix}

az összes megoldások paraméteres alakja.

Tehát

z = 9 u = 99 t + 45

, ahol

\begin{matrix} 31 < 99 t + 45 < 99. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} - \frac{14}{99} < t < \frac{54}{99}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t = 0, z = 9 u = 45, z - 1 = 11 v = 44, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x = \frac{45 \cdot 44}{9 \cdot 11} = 5 \cdot 4 = 20, és y = z - x = 45 - 20 = 25. \end{matrix}

Tényleg

{(20 + 25)}^{2} = 45^{2} = 2025

.
A

z = 11 u

és

z - 1 = 9 v

esetet tekintve

\begin{matrix} 11 u - 9 v = 1, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} u = 9 w - 4, v = 11 w - 5, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} 11 u = 99 w - 44, 9 v = 99 w - 45. \end{matrix}

\begin{matrix} 31 < 99 w - 44 < 99 miatt \\ w = 1 z = 99 - 44 = 55, z - 1 = 54. \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{z (z - 1)}{99} = \frac{55 \cdot 54}{11 \cdot 9} = 5 \cdot 6 = 30, v = z - x = 55 - 30 = 25. \end{matrix}

Tényleg

{(30 + 25)}^{2} = 55^{2} = 3025

.
Az itt megadott megoldásokon kívül, mint láttuk, más megoldás nem lehet.

Edelényi Miklós (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)

II. megoldás: A jelöléseket megtartva

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = 100 x + y = 100 x + 100 y - 99 y = 100 (x + y) - 99 y, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} z^{2} = 100 z - 99 y, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = \frac{z (100 - z)}{99} . \end{matrix}

Mivel

z = 99

ismét arra vezetne, hogy

y = 1

, ami ellentmond annak, hogy

y

kétjegyű, és

z = 33

eseten

y

nem egész, azért vagy

z

vagy

100 - z

-nek oszthatónak kell lennie 11-gyel és ugyanakkor a másik tényezőnek 9-cel. Ez csak akkor következik be, amint erről 8 kísérlettel:

88,77, ...,11

meggyőződhetünk, ha

\begin{matrix} z_{1} = 55 és 100 - z_{1} = 45, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} 100 - z_{2} = 55 és z_{2} = 45. \end{matrix}

Mindkét esetben

\begin{matrix} y_{1,2} = \frac{45 \cdot 55}{9 \cdot 11} = 5 \cdot 5 = 25, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{1} = z_{1} - y = 55 - 25 = 30, x_{2} = z_{2} - y = 45 - 25 = 20. \end{matrix}

Eördögh László (Bp., VIII., Apáczai Csere János g. IV. o. t.)