Kezdőlap


Feladat:	575. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabados József
Füzet:	1954/május, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 575. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a forgáskúp és beírt gömb egy tengelymetszetét. A betűzést az ábra mutatja.

A feladat értelmében

\begin{matrix} \frac{2 r π a}{3} = 4 ϱ^{2} π, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a r = 6 ϱ^{2} . \end{matrix}

(1)

Ismeretes, hogy a háromszög területe a kerület

(2 s)

és a beírt kör sugarával kifejezve

t = s ϱ

. Másrészt a háromszög területe

A O_{1} \cdot O_{1} C = r \sqrt[]{a^{2} - r^{2}}

, és így (mivel jelen esetben

s = a + r

)

\begin{matrix} (a + r) ϱ = r \sqrt[]{a^{2} - r^{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} ϱ = r \frac{\sqrt[]{a^{2} - r^{2}}}{a + r} = r \sqrt[]{\frac{(a - r) (a + r)}{{(a + r)}^{2}}} = r \frac{\sqrt[]{a - r}}{a + r}, \end{matrix}

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} a r = \frac{6 r^{2} (a - r)}{a + r}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{2} + a r = 6 a r - 6 r^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 6 r^{2} - 5 a r + a^{2} = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} r_{1} = \frac{a}{2}, r_{2} = \frac{a}{3} . \end{matrix}

A kúp félnyílása

\frac{γ}{2}

, tehát

\begin{matrix} sin \frac{γ}{2} = \frac{r}{a}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} sin \frac{γ_{1}}{2} = \frac{r_{1}}{a} = \frac{1}{2}, amiből \frac{γ_{1}}{2} = 30^{\circ}, és így γ_{1} = 60^{\circ}, \\ sin \frac{γ_{2}}{2} = \frac{r_{2}}{a} = \frac{1}{3}, amiből \frac{γ_{2}}{2} = 19^{\circ} 28', és így γ_{2} = 38^{\circ} 56' . \end{matrix}

Szabados József (Bp., III., Árpád g. II. o. t.)