Kezdőlap


Feladat:	574. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Imre , Grätzer György
Füzet:	1954/május, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/december: 574. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az ismert

\begin{matrix} cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} \end{matrix}

(1)

azonosság alapján

cos x + cos 3 x = 2 cos 2 x cos x

, és

cos 2 x + cos 4 x = 2 cos 3 x cos x

.
Tehát a megoldandó egyenlet így is írható:

\begin{matrix} 2 cos x (cos 2 x + cos 3 x) = 0 \end{matrix}

(2)

A baloldal zárójeles tényezőjére ismét alkalmazva (1)-et

\begin{matrix} cos 2 x + cos 3 x = 2 cos \frac{5 x}{2} cos \frac{x}{2}, \end{matrix}

mely értéket behelyettesítve (2)-be, nyerjük

\begin{matrix} 4 cos x cos \frac{5 x}{2} cos \frac{x}{2} = 0. \end{matrix}

Ez akkor teljesül, ha a baloldal valamely tényezője

0

.
a)

cos x = 0

, amiből

\begin{matrix} x_{1} = \frac{π}{2} \pm 2 k π, \\ x_{2} = \frac{3 π}{2} \pm 2 k π (k = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

cos \frac{5 x}{2} = 0

, amiből

\begin{matrix} x_{3} & = \frac{π}{5} \pm 2 k π, & x_{4} & = \frac{3 π}{5} \pm 2 k π, & x_{5} & = π \pm 2 k π, \\ x_{6} & = \frac{7 π}{5} \pm 2 k π, & x_{7} & = \frac{9 π}{5} \pm 2 k π, & (k & = 0,1,2, ...) \end{matrix}

cos \frac{x}{2} = 0

, egyenlet gyökei a b) alatti egyenlet gyökei között már elő fordulnak.
Mivel az egyenleten csak azonos átalakításokat végeztünk, a kapott értékek valóban gyökei az eredeti egyenletnek.

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. II. o. t.)

II. megoldás: A baloldal minden tagját az ismert goniometriai azonosságok felhasználásával kifejezzük

cos x

hatványaival:

\begin{matrix} cos 2 x & = 2 cos^{2} x - 1, & cos 3 x & = 4 cos^{3} x - 3 cos x, \\ cos 4 x & = 8 cos^{4} x - 8 cos^{2} x + 1 \end{matrix}

Behelyettesítés, rendezés és

2 cos x

kiemelése után adódik

\begin{matrix} 2 cos x (4 cos^{3} x + 2 cos^{2} x - 3 cos x - 1) = 0. \end{matrix}

Innen vagy

\begin{matrix} cos x = 0, \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} 4 cos^{3} x + 2 cos^{2} x - 3 cos x - 1 = 0. \end{matrix}

(2)

Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} cos x = - 1 \end{matrix}

(3)

kielégíti a (2) alatti egyenletet. Osztva a

(cos x + 1)

gyöktényezővel,

cos x

további lehetséges értékeire a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 4 cos^{2} x - 2 cos x - 1 = 0, \end{matrix}

(4)

ahonnan

\begin{matrix} cos x = \frac{1 \pm \sqrt[]{5}}{2} \end{matrix}

(5)

Az (1), (3) és (5) alatt nyert négyféle

cos x

értékhez tartozó

x

gyökök megegyeznek az I. megoldásban talált gyökökkel.

ä

tzer György (Bp., VI., Kölcsey g. IV. o. t.)