Kezdőlap


Feladat:	572. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Harza Tibor
Füzet:	1954/május, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 572. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $x$ , $y$ az $1$ , ill. $10 Ft$ -os bélyegek számát, akkor a feladat szerint $2 (x + y)$ az $5 Ft$ -os bélyegek száma, tehát

\begin{matrix} x + 5 \cdot 2 (x + y) + 10 y = 768, \end{matrix}

vagyis a

\begin{matrix} 11 x + 20 y = 768 \end{matrix}

határozatlan egyenletnek kell keresni a pozitív egész megoldásait.

\begin{matrix} x = \frac{768 - 20 y}{11} = 70 - 2 y + \frac{2 y - 2}{11} = 70 - 2 y + 2 \frac{y - 1}{11} = 70 - 2 y + 2 u \\ y = 11 u + 1 & (1) \\ x = 70 - 22 u - 2 + 2 u = 68 - 20 u & (2) \\ 2 (x + y) = 2 (69 - 9 u) = 138 - 18 u . & (3) \end{matrix}

\begin{matrix} (1) -ből 11 u + 1 > 0, u > - \frac{1}{11} > - 1 \\ (2) -ből 68 - 20 u > 0, u < \frac{17}{5} < 4 \\ (3) -ból 138 - 18 u > 0, u < \frac{138}{18} = \frac{23}{3} < 8 \\ (3) nem mond újat, tehát \\ - 1 < u < 4, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} u = 0,1,2,3 \end{matrix}

és ennek megfelelően

4

megoldást nyerünk:

\begin{matrix} x & 68 & 48 & 28 & 8 \\ y & 1 & 12 & 23 & 34 \\ 2(x+y) & 138 & 120 & 102 & 84 \end{matrix}

Harza Tibor (Székesfehérvár, József Attila g. II. o. t.)