Kezdőlap


Feladat:	571. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapody Miklós
Füzet:	1954/május, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 571. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a férfiak, nők, gyermekek számát rendre $x$ , $y$ , $z$ -vel jelöljük, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} x + y + z = 150, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 17 x + 14 y + 9 z = 1530. \end{matrix}

(2)

Ezen egyenletrendszernek kell meghatározni a pozitív egész gyökeit.
(2)-ből levonva (1)

9

-szeresét

\begin{matrix} 8 x + 5 y = 180, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 8 x = 5 (36 - y), \end{matrix}

vagyis

8 x

osztható

5

-tel, ami csak úgy lehet, ha

x

osztható

5

-tel.

\begin{matrix} x = 5 t, & (3) \\ 8 t = 36 - y, y = 36 - 8 t . & (4) \end{matrix}

Mivel a feladat szerint

z < 120

, azért

\begin{matrix} x + y = 36 - 3 t > 30. \end{matrix}

(5)

Tehát

\begin{matrix} (3) -ból 5 t > 0, vagyis t > 0, & (3') \\ (4) -ből 36 - 8 t > 0, vagyis t < \frac{9}{2}, & (4') \\ (5) -ből 36 - 3 t > 30, vagyis t < 2. & (5') \end{matrix}

Az (5

'

) magában foglalja a (4

'

)-t, és (3

'

) és (5

'

) alapján

\begin{matrix} 0 < t < 2, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t = 1, x = 5, y = 28 és z = 117. \end{matrix}

Csapody Miklós (Bp., VIII., Piarista, g. I. o. t.)