Kezdőlap


Feladat:	570. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Bakos T. , Bauer A. , Beke Éva és Mária , Biczó G. , Boros P. , Csanády M. , Csiszár I. , Deseő Z. , Eördögh L. , Gergely J. , Holbok S. , Jámbor I. , Kálmán J. , Katona P. , Kirz J. , Kiss P. , Kovács L. , Kulcsár Zs. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Mercz F. , Molnár I. , Pátkai Gy. , Quittner P. , Rázga T. , Reichlin W. , Solymoss Otmár , Szendrei I. , Szepesszentgyörgyi O. , Tarlacz L. , Tomka I. , Tomor V. , Uray L. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/május, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 570. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég egy $a$ , $b$ oldalú téglalapot (rácsnyílást) tekinteni a hozzá tartozó $c$ fél lécszélességgel. A lehetséges terület $T$ a teljes $a + 2 c$ és $b + 2 c$ oldalú téglalap.

1. ábra

Kedvező pontok a golyó középpontjára nézve a rácsnyíláson belül azok a pontok, melyeknek távolsága az oldalaktól legalább

r

. (Az ábrában sraffozott téglalap.) A kedvező terület tehát

t = (a - 2 r) (b - 2 r)

, és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} v = \frac{t}{T} = \frac{(a - 2 r) (b - 2 r)}{(a + 2 c) (b + 2 c)} \end{matrix}

Mivel

v

negatív nem lehet, azért szükségképpen

r < \frac{b}{2} < \frac{a}{2}

.
b) Hogy

v

rögzített

a

b

mellett bármilyen kis

r

esetén kisebb legyen

\frac{1}{2}

-nél
(tehát

r = 0

esetén is legalább

\frac{1}{2}

legyen), ahhoz kell, hogy

\begin{matrix} \frac{a b}{(a + 2 c) (b + 2 c)} \leq \frac{1}{2} . \end{matrix}

c

keresett minimális értéke az

\begin{matrix} \frac{a b}{(a + 2 c) (b + 2 c)} = \frac{1}{2} \end{matrix}

egyenletből adódik, vagyis

\begin{matrix} 2 a b = (a + 2 c) (b + 2 c), \end{matrix}

(1)

amiből

\begin{matrix} {(2 c)}^{2} + (a + b) \cdot 2 c - a b = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 2 c = \frac{- (a + b) + \sqrt[]{{(a + b)}^{2} + 4 a b}}{2} = \sqrt[]{{(\frac{a + b}{2})}^{2} + a b} - \frac{a + b}{2} . \end{matrix}

(2)

2 c

megszerkesztése azonban egyszerűbben történhetik (1)-ből, mint (2)-ből.
Megszerkesztjük az

a = A B

és

2 b = B D

mértani középarányosát:

B P

-t az

A D

fölé rajzolt

O_{1}

középpontú Thales-kör segítségével (2. ábra).

2. ábra

Messe az

a + b = A C

távolság

O_{2}

felezőpontja körül az

Q P

sugárral rajzolt kör az

A D

egyenest a

Q

és

R

pontokban, akkor nyilván

\begin{matrix} Q A = C R = 2 c, \\ mert tényleg \sqrt[]{(a + 2 c) (b + 2 c)} = B P = \sqrt[]{a \cdot 2 b} . \end{matrix}

Solymoss Otmár (Kőszeg, Jurisich Miklós g. IV. o. t.)