Kezdőlap


Feladat:	569. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Eördögh László
Füzet:	1954/május, 145 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szabályos testek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 569. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek az $A B C D E F$ oktaéder $A D$ és $B C$ élei merőlegesek a rajzunk síkjára és vetítsük az oktaédert merőlegesen erre a síkra (1. ábra).

1. ábra

A vetületben az

A D

és

B C

élek ponttá fajulnak. Az

A D

és

E B

kitérő éleken a keresett

M N

pontokat az az egyenes metszi ki, amely (amellett, hogy mindkét élt metszi) mindkét élre merőleges (normál transzverzális). Ebből a meghatározásból következik, hogy

M N

párhuzamos a képsíkkal és így a vetületben valódi nagyságban látszik. Mivel az

E B

él vetítősíkja párhuzamos az

A D

éllel, azért a vetületben is

M N ⊥ E B

. Az

E N

és

N B

aránya (párhuzamos vetítésről lévén szó) a térben és vetületben ugyanaz.
A vetületben

\begin{matrix} N B C_{▵} \sim B O E_{▵}, \end{matrix}

mint közös hegyesszöggel bíró derékszögű háromszögek, tehát

\begin{matrix} M N : A B = E O : E B . \end{matrix}

\begin{matrix} De A B = a, E O = \frac{a}{2} \sqrt[]{2} és E B = \frac{a}{2} \sqrt[]{3}, és így \\ M N = \frac{a \frac{a}{2} \sqrt[]{2}}{\frac{a}{2} \sqrt[]{3}} = \frac{a \sqrt[]{6}}{3} . \\ N B = \sqrt[]{A B^{2} - M N^{2}} = \sqrt[]{a^{2} - \frac{2 a^{2}}{3}} = \frac{a}{3} \sqrt[]{3}, \\ E N = E B - N B = \frac{a}{2} \sqrt[]{3} - \frac{a}{3} \sqrt[]{3} = \frac{a}{6} \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Tehát

E N : N B = 1 : 2

.
Tehát a keresett pontok az éleket

1 : 2

arányban osztják, és a keresett minimális távolság

M N = \frac{a \sqrt[]{6}}{3}

II. megoldás: Legyen az oktaéder

A B C

lapja rajzunk síkjában. Ez esetben az e lappal párhuzamos

D E F

lap rajzunk síkjával párhuzamos és az oktaéder ortogonális vetületét rajzunk síkjában a 2. ábra mutatja.

2. ábra

A B

és

D E

élek normál transzverzálisa

M N

most nyilván merőleges rajzunk síkjára és így vetülete ponttá fajul. Ha a vetületben

A B

és

E F

metszéspontját

P

-vel jelöljük, akkor a szögeket tekintve triviális, hogy

A M = M E = M P = P E = P B

, vagyis az

M

pont harmadolja az

A B

élt.
Az

M N

távolság nem egyéb, mint az

[A B C]

sík távolsága a vele párhuzamos

[D E F]

síktól, vagyis pl. a

D

pont távolsága a képsíktól. Utóbbi olyan derékszögű háromszög befogója, melynek átfogója a térben az

A C D_{▵}

magassága, és másik befogója ennek az átfogónak

D Q

vetülete.

D Q

az oktaéder vetülete köré írt kör sugarának a fele és így harmadrésze a

Q B

lapmagasságnak.
Tehát

\begin{matrix} M N = \sqrt[]{{(\frac{a}{2} \sqrt[]{3})}^{2}} - \sqrt[]{{(\frac{a}{6} \sqrt[]{3})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{12}} = \sqrt[]{\frac{8 a^{2}}{12}} = a \sqrt[]{\frac{2}{3}} = \frac{a \sqrt[]{6}}{3} . \end{matrix}

Eördögh László (Bp., VIII., Apáczai Csere g. IV. o. t.)