Kezdőlap


Feladat:	566. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bártfai Pál
Füzet:	1954/május, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/november: 566. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert képlet alapján

\begin{matrix} cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x, \end{matrix}

amely értéket az egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} 4 cos^{3} x - 3 cos x + 2 cos x = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos x \cdot (4 cos^{2} x - 1) = 0. \end{matrix}

Ebből következik, hogy vagy

\begin{matrix} cos x = 0, amiből x_{1,2} = \frac{π}{2} \pm k π (k = 0,1,2, ...), \end{matrix}

vagy pedig

\begin{matrix} 4 cos^{2} x - 1 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos x = \pm \frac{1}{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{3,4} = \frac{π}{3} \pm k π (k = 0,1,2, ...) ill. x_{5,6} = \frac{2 π}{3} \pm k π (k = 0,1,2, ...) . \end{matrix}

Tehát a

(0,2 π)

intervallumban összesen

6

gyök van.

Bártfai Pál (Bp., I., Petőfi g. III. o. t.)

Igen sok megoldás nem volt elfogadható, mert a megoldó minden további nélkül osztott

cos x

-szel és így az

x_{1,2}

gyököket elvesztette.