Kezdőlap


Feladat:	564. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási L. , Ambrus G. , Balló R. , Bártfai P. , Biczó G. , Bors B. , Deseő Z. , Eördögh L. , Fuchs Tamás , Gergely J. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Kálmán Gy. , Katona P. , Kirz J. , Kovács László (Debrecen) , Lackner Györgyi , Lajtha Ildikó , Papp Z. , Quittner P. , Rázga T. , Reichlin M. V. , Siklósi P. , Szentai E. , Tahy P. , Tomor B. , Uray L. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/április, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Többszemélyes véges játékok, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/október: 564. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Olyan dominókövet, melynek mindkét fele egyenlő $≫$ duplá $≪$ -nak szokás nevezni.
A kívánt lánc háromféleképpen jöhet létre:
a) Sem az első, sem a második húzásunk nem dupla.
b) Az első húzásunk nem dupla, a második dupla.
c) Az első húzásunk dupla. (Akkor a második húzás már nem lehet dupla.)
Jelöljük a fenti három esetben a valószínűségeket rendre $v_{a}$ , $v_{b}$ , ill. $v_{c}$ -vel. Mivel az a), b), c) alatti események egymást kizárják, azért az összeadási tétel alapján a keresett valószínűség

\begin{matrix} v = v_{a} + v_{b} + v_{c} \end{matrix}

Számítsuk ki

v_{a}

-t.
Annak a valószínűsége, hogy elsőre nem duplát húzunk:

\frac{36}{45}

, mivel a

C_{9}^{1,2} = \frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2} = 45

dominókő között

9

dupla van.
Ha először nem duplát húztunk, akkor annak valószínűsége, hogy másodikra csatolható nem duplát húzunk:

\frac{14}{44}

, mert az első kő mindegyik feléhez

7

‐

7

nem dupla kő illeszthető.
Annak valószínűsége, hogy a harmadik kő az így csatolt első kettő mellé illeszthető:

\frac{15}{43}

, mivel mindegyik kőhöz

8

‐

8

illeszthető, de ezek között van egy mely mindkét oldalhoz csatolható.
Tehát a szorzási tétel alapján

\begin{matrix} v_{a} = \frac{36}{45} \cdot \frac{14}{44} \cdot \frac{15}{43} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{11 \cdot 43} = \frac{42}{473} . \end{matrix}

Teljesen hasonló meggondolásokkal

\begin{matrix} v_{b} = \frac{36}{45} \cdot \frac{2}{44} \cdot \frac{15}{43} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{11 \cdot 43} = \frac{6}{473} \\ v_{c} = \frac{9}{45} \cdot \frac{8}{44} \cdot \frac{15}{43} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{11 \cdot 43} = \frac{6}{473} \end{matrix}

Tehát a keresett valószínűség

\begin{matrix} v = \frac{42}{473} + \frac{6}{473} + \frac{6}{473} = \frac{54}{473} \approx 0, 114. \end{matrix}

Annak valószínűsége, hogy a csatlakozás nem sikerül, ezekszerint

1 - \frac{54}{473} = \frac{419}{473}

, hogy

x

kísérletre egyszer sem sikerül

{(\frac{419}{473})}^{x}

, és hogy

x

kísérletre legalább egyszer bekövetkezzék

1 - {(\frac{419}{473})}^{x}

. Tehát

x

-et úgy kell meghatározni, hogy

\begin{matrix} 1 - {(\frac{419}{473})}^{x} \geq 0, 9 \end{matrix}

legyen, vagyis

\begin{matrix} {(\frac{419}{473})}^{x} \leq 0, 1 \end{matrix}

{(\frac{419}{473})}^{x} = 0, 1

exponenciális egyenletet megoldva

\begin{matrix} x = \frac{lg 0, 1}{lg 419 - lg 473} = \frac{1}{lg 473 - lg 419} \approx 18, 9, \end{matrix}

amiből következik, hogy legalább

19

kísérletet kell tennünk.

Fuchs Tamás (Bp., II. Rákóczi g. III. o. t.)