|
Feladat: |
563. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Almási L. , Aujeszky G. , Bagi A. , Bakos T. , Balla G. , Bárdos A. , Bártfai P. , Bauer A. , Bauer Károly , Beke Éva és Mária , Beliczky G. , Biczó G. , Bognár P. , Boros P. , Burger P. , Cser T. , Csiszár Imre , Edelényi M. , Erdős S. , Eördögh L. , Farkas Gy. , Frivaldszky J. , Fuchs T. , Gaál I. , Gergely J. , Gergely P. , Gergely T. , Grätzer Gy. , Holbok S. , Huszár k. , Jámbor I. , Joó F. , Kirz G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Orlik P. , Orosz Á. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Peák I. , Péntek L. , Schmidt E. , Solymoss O. , Spellenberg S. , Szakál A. , Szendrei I. , Tomor B. , Uray L. , Varga J. , Vigassy József , Zawadowski Alfréd |
Füzet: |
1954/április,
116 - 119. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Törtfüggvények, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/október: 563. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: a) Mivel a nevező minden valós -re, azért a függvény az egész számegyenesen értelmezve van. b) Határozzuk meg a görbe zéró-helyeit, vagyis azokat a pontokat, amelyekben a görbe az -tengelyt metszi. , ha a számláló vagyis, ha (A nevező, mint láttuk, sohasem egyenlő 0-val.) c) esetén . Ha , akkor függvényünk írható ilyen alakban | |
Ha itt abszolút értéke elég nagy (és mondjuk 1-nél mindenesetre nagyobb), akkor a tört számlálójának abszolút értéke mindenesetre kisebb, mint pl. 2, míg a nevező abszolút értéke tetszőlegesen nagy lesz. A tört abszolút értéke tehát tetszőlegesen kicsi lesz. Így tehát, ha abszolút értéke minden határon túlnő, akkor tetszőleges pontossággal megközelíti az 1 értéket. Egyébként az tört pozitív, ha , negatív, ha , így (a szorzóra is figyelve) negatív -ekre felülről, pozitívokra alulról közeledik a függvény görbéje az egyeneshez (aszimptotához). d) Határozzuk meg a függvény szélső értékeit. E célból -et fejezzük ki -nal. Mivel a nevező sohasem 0, azért | | vagyis amiből | |
csak akkor valós, ha a diszkrimináns | | (1) |
Mivel a egyenlet gyökei azért az (1) alatti egyenlőtlenség teljesül, ha Tehát szélső értékei:
Behelyettesítéssel nyerjük a következő értéktáblázatot
| |
Bauer Károly (Pécs, Bányaipari techn. IV. o. t.) |
II. megoldás: A szélső értékeket a következőképpen is meghatározhatjuk. Alakítsuk át a függvényt: y=x2-x-1x2+x+1=1-2x+1x(x+1)+1=1-2x+2x+1==1-2(x+1)+1x+1-1.
y akkor minimális, ha a második tag maximális, vagyis ha a második tag nevezője a nem negatív számok körében minimális. De x+1+1x+1 a nem negatív számok körében minimális, ha x+1=1x+1=1, vagyis x=0, amely esetben ymin=-1. y maximális, ha a második tag minimális, vagyis a nevező a negatív számok körében maximális. De x+1+1x+1 a negatív számok körében maximális, ha x+1=1x+1=-1, amiből x=-2 és ymax=53.
Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.) |
III. megoldás: A szélső érték meghatározásának egy harmadik módja a következő: | y=2x2x2+x+1-1=21+1x+1x2-1=2(1x+12)2+34-1. |
y akkor maximális, ha az első tag maximális, vagyis az első tag nevezője minimális. (1x+12)2 egy sohasem negatív mennyiség, amely akkor minimális, ha értéke 0, vagyis ha x=-2, amikor is ymax=53. y minimális, ha az első tag nevezője maximális, vagyis 1x maximális. Utóbbi minden határon túlnő, ha x 0-hoz közeledik; így ekkor a tört értéke is (mely mindig pozitív) 0-hoz közeledik, tehát ymin=-1.
Vigassy József (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.) |
|
|