Feladat: 563. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási L. ,  Aujeszky G. ,  Bagi A. ,  Bakos T. ,  Balla G. ,  Bárdos A. ,  Bártfai P. ,  Bauer A. ,  Bauer Károly ,  Beke Éva és Mária ,  Beliczky G. ,  Biczó G. ,  Bognár P. ,  Boros P. ,  Burger P. ,  Cser T. ,  Csiszár Imre ,  Edelényi M. ,  Erdős S. ,  Eördögh L. ,  Farkas Gy. ,  Frivaldszky J. ,  Fuchs T. ,  Gaál I. ,  Gergely J. ,  Gergely P. ,  Gergely T. ,  Grätzer Gy. ,  Holbok S. ,  Huszár k. ,  Jámbor I. ,  Joó F. ,  Kirz G. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Orlik P. ,  Orosz Á. ,  Papp Z. ,  Pátkai Gy. ,  Peák I. ,  Péntek L. ,  Schmidt E. ,  Solymoss O. ,  Spellenberg S. ,  Szakál A. ,  Szendrei I. ,  Tomor B. ,  Uray L. ,  Varga J. ,  Vigassy József ,  Zawadowski Alfréd 
Füzet: 1954/április, 116 - 119. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Törtfüggvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/október: 563. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:
a) Mivel a nevező

x2+x+1=(x+12)2+3434>0
minden valós x-re, azért a függvény az egész számegyenesen értelmezve van.
b) Határozzuk meg a görbe zéró-helyeit, vagyis azokat a pontokat, amelyekben a görbe az x-tengelyt metszi.
y=0, ha a számláló
x2-x-1=0,

vagyis, ha
x1=1-52ésx2=1+52.

(A nevező, mint láttuk, sohasem egyenlő 0-val.)
c) x=0 esetén y=-1. Ha x0, akkor függvényünk írható ilyen alakban
y=1-2x+1x2+x+1=1-21+1xx+1+1x.

Ha itt x abszolút értéke elég nagy (és mondjuk 1-nél mindenesetre nagyobb), akkor a tört számlálójának abszolút értéke mindenesetre kisebb, mint pl. 2, míg a nevező abszolút értéke tetszőlegesen nagy lesz. A tört abszolút értéke tehát tetszőlegesen kicsi lesz. Így tehát, ha x abszolút értéke minden határon túlnő, akkor y tetszőleges pontossággal megközelíti az 1 értéket. Egyébként az x+1x2+x+1 tört pozitív, ha x>-1, negatív, ha x<-1, így (a -2 szorzóra is figyelve) negatív x-ekre felülről, pozitívokra alulról közeledik a függvény görbéje az y=1 egyeneshez (aszimptotához).
d) Határozzuk meg a függvény szélső értékeit. E célból x-et fejezzük ki y-nal. Mivel a nevező sohasem 0, azért
y(x2+x+1)=x2y+xy+y=x2-x-1,
vagyis
x2(y-1)+x(y+1)+(y+1)=0,
amiből
x=-(y+1)±(y+1)2-4(y2-1)2(y-1)

x csak akkor valós, ha a diszkrimináns
(y+1)2-4(y2-1)=-3y2+2y+50.(1)

Mivel a
-3y2+2y+5=0
egyenlet gyökei
y1=-1,ésy2=53,
azért az (1) alatti egyenlőtlenség teljesül, ha
-1y53.
Tehát y szélső értékei:
ymin=-1amikorx=0,ymax=53,amikorx=-2.

Behelyettesítéssel nyerjük a következő értéktáblázatot
 

x-3-2-10123y117531-1-1317513

 
 

Bauer Károly (Pécs, Bányaipari techn. IV. o. t.)

 
II. megoldás:
A szélső értékeket a következőképpen is meghatározhatjuk. Alakítsuk át a függvényt:
y=x2-x-1x2+x+1=1-2x+1x(x+1)+1=1-2x+2x+1==1-2(x+1)+1x+1-1.



y akkor minimális, ha a második tag maximális, vagyis ha a második tag nevezője a nem negatív számok körében minimális. De x+1+1x+1 a nem negatív számok körében minimális, ha x+1=1x+1=1, vagyis x=0, amely esetben ymin=-1.
y maximális, ha a második tag minimális, vagyis a nevező a negatív számok körében maximális. De x+1+1x+1 a negatív számok körében maximális, ha x+1=1x+1=-1, amiből x=-2 és ymax=53.
 

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)

 

III. megoldás:
A szélső érték meghatározásának egy harmadik módja a következő:
y=2x2x2+x+1-1=21+1x+1x2-1=2(1x+12)2+34-1.

y akkor maximális, ha az első tag maximális, vagyis az első tag nevezője minimális. (1x+12)2 egy sohasem negatív mennyiség, amely akkor minimális, ha értéke 0, vagyis ha x=-2, amikor is ymax=53.
y minimális, ha az első tag nevezője maximális, vagyis 1x maximális. Utóbbi minden határon túlnő, ha x 0-hoz közeledik; így ekkor a tört értéke is (mely mindig pozitív) 0-hoz közeledik, tehát ymin=-1.
 

Vigassy József (Bp. I., Petőfi g. IV. o. t.)