Kezdőlap


Feladat:	561. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Ambrus G. , Aujeszky G. , Bakos T. , Balló R. , Bauer A. , Bauer K. , Beke Gy. , Bense P. , Béres I. , Biczó G. , Bonyhárd P. , Csanádi M. , Csanády S. , Eördögh L. , Frivaldszky J. , Frühling J. , Gaál I. , Gergely J. , Gergely P. , Holbok S. , Huszár k. , Ivanyos A. , Jámbor I. , Joó F. , Kálmán Gy. , Katona P. , Kirz J. , Kiss P. , Kovács L. , Kulcsár S. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Miskovszky Gy. , Neumann Gy. , Orlik P. , Ott L. , Papp Z. , Pasitka B. , Pátkai Gy. , Pintér L. , Rázga Tamás , Roboz Ágnes , Siklósi P. , Szabados J. , Szendrei I. , Szentai E. , Szepesszentgyörgyi O. , Tahy P. , Tolnai T. , Tomor B. , Uray L. , Ványai L. , Vértes P. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/március, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Körülírt kör, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/október: 561. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiindulva a köréírt körből, megszerkesztjük egy tetszőleges $X$ pontban rajzolt $α$ kerületi szöghöz tartozó $B C$ húrt (1. ábra), amely a keresett háromszögnek $a$ oldala.

1. ábra

f_{a}

szögfelező mindenesetre felezi az

F

pontban azt a

B C

ívet, amelynek pontjaiból a

B C

oldal

180^{\circ} - α

szög alatt látszik. A keresett

F A

távolság messe a

B C

oldalt

D

-ben.

D A = f_{a}

közvetlenül nem használható fel, de megszerkeszthető az

F A

távolság. Ugyanis az

\begin{matrix} F D C ▵ \sim F C A ▵, \end{matrix}

mert az

F ∢

közös, a

D C F ∢

pedig egyenlő az

F A C ∢

-gel, mint egyenlő íveken nyugvó kerületi szögek. Ennélfogva

\begin{matrix} F D : F C = F C : F A, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} F C^{2} = F A \cdot F D = F A \cdot (F A - f_{a}) . \end{matrix}

Ezen összefüggés alapján

F C

és

f_{a}

ismeretében

F A

a 2. ábra szerint megszerkeszthető, felhasználva azt a tételt, mely szerint az

F C

érintőszakasz, mértani középarányos az

F

ponton átmenő szelő két metszete

F A

és

F A - f_{a}

között.

2. ábra

A megszerkesztett

F A

sugárral

F

pont körül rajzolt kör metszi ki a háromszög köré írt körből az

A

pontot. A második metszéspont tükörképet ad.
Tehát mindig csak egy megoldás van, amíg

F A \leq 2 r

, vagyis (a betűzést az 1. ábra mutatja)

\begin{matrix} f_{a} \leq A' D' = A' B \cdot cos \frac{α}{2} = A' F cos \frac{α}{2} cos \frac{α}{2} = 2 r cos^{2} \frac{α}{2} . \end{matrix}

Egyenlőség esetén a háromszög egyenlőszárú

(A B = A C)

, ha pedig

f_{a} > 2 r cos^{2} \frac{α}{2}

, akkor nincs megoldás.

Rázga Tamás (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)