Kezdőlap


Feladat:	560. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bonyhárd Péter , Fuchs Tamás , Rázga Tamás
Füzet:	1954/március, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Koszinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/október: 560. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az igazolandó egyenlőség így is írható:

\begin{matrix} 2 sin α sin β cos γ + sin^{2} γ = sin^{2} α + sin^{2} β . \end{matrix}

A feltevés szerint

γ = 180^{\circ} - (α + β)

, tehát

\begin{matrix} cos γ = - cos (α + β) és sin γ = sin (α + β) . \end{matrix}

Ezen értékeket (1) baloldalába helyettesítve, a baloldalt átalakítjuk, míg azonos a jobboldallal:

\begin{matrix} - 2 sin α sin β cos (α + β) + sin^{2} (α + β) = \\ = - 2 sin α sin β (cos α cos β - sin α sin β) + {(sin α cos β + cos α sin β)}^{2} = \\ = 2 sin^{2} β sin^{2} β - 2 sin α sin β cos α cos β + sin^{2} α cos^{2} β + \\ + 2 sin α sin β cos α cos β + cos^{2} α sin^{2} β = \\ = sin^{2} α sin^{2} β + sin^{2} α cos^{2} β + sin^{2} α sin^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β = \\ = sin^{2} α (sin^{2} β + cos^{2} β) + sin^{2} β (sin^{2} α + cos^{2} α) = sin^{2} α + sin^{2} β . \end{matrix}

Rázga Tamás (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Átalakítjuk egyenlőségünk jobboldalát:

\begin{matrix} sin^{2} α + sin^{2} β - sin^{2} γ = sin^{2} α + (sin β + sin γ) (sin β - sin γ) = \\ = sin^{2} α + 2 sin \frac{β + γ}{2} cos \frac{β - γ}{2} \cdot 2 cos \frac{β + γ}{2} sin \frac{β - γ}{2} = \\ = sin^{2} α + 2 sin \frac{β + γ}{2} cos \frac{β + γ}{2} \cdot 2 sin \frac{β - γ}{2} cos \frac{β - γ}{2} = \\ = sin^{2} (β + γ) + sin (β + γ) sin (β - γ) = sin (β + γ) [sin (β + γ) + sin (β - γ)] = \\ = sin α 2 sin β cos γ = 2 sin α sin β cos γ, ami bizonyítandó volt. \end{matrix}

Fuchs Tamás (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)

III. megoldás: A cosinus-tétel alapján

\begin{matrix} 2 cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} . \end{matrix}

Felhasználva a sinus-tételt:

\begin{matrix} 2 cos γ = \frac{sin α}{sin β} + \frac{sin β}{sin α} - \frac{sin γ}{sin α} \cdot \frac{sin γ}{sin β} . \end{matrix}

Mindkét oldalt (a

0

-tól különböző)

sin α sin β

-val szorozva

\begin{matrix} 2 sin α sin β cos γ = sin^{2} α + sin^{2} β - sin^{2} γ . \end{matrix}

Bonyhárd Péter (Apáczai Csere J. g. III. o. t.)