Kezdőlap


Feladat:	557. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Roboz Ágnes , Uray László
Füzet:	1954/március, 78 - 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/október: 557. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $β$ és $γ$ közül egyik nem lehet derékszög, mert ez ellentmond a feltételnek, $β = γ = 90^{\circ}$ pedig éppúgy ki van zárva, mint a $0^{\circ}$ ill. $180^{\circ}$ , mivel $β$ és $γ$ egy háromszög szögei. Tehát $β$ és $γ$ sinusa és cosinusa $0$ -tól különböző.
$A tg β = \frac{sin β}{cos β} és tg γ = \frac{sin γ}{cos γ} értékeket helyettesítve:$

\begin{matrix} \frac{sin β sin^{2} γ}{cos β} = \frac{sin γ sin^{2} β}{cos γ} . \end{matrix}

Mivel

sin β sin γ \neq 0

, azért egyszerűsítve

\begin{matrix} \frac{sin γ}{cos β} = \frac{sin β}{cos γ}, \end{matrix}

(1)

vagyis

2 cos β cos γ

-val szorozva

\begin{matrix} 2 sin γ cos γ = 2 sin β cos β, azaz sin 2 γ = sin 2 β . \end{matrix}

Ebből kővetkezik, hogy
vagy

\begin{matrix} β = γ, \end{matrix}

amely esetben a háromszög egyenlőszárú,
vagy

\begin{matrix} 2 γ = 180^{\circ} - 2 β, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} β + γ = 90^{\circ} \end{matrix}

és így

α = 90^{\circ}

, vagyis a háromszög derékszögű.

Uray László (Bp. VIII., Piarista g. III. o. t.)

II. megoldás: Az I. megoldás (1) alatti egyenlősége így is írható:

\begin{matrix} \frac{sin γ}{sin β} = \frac{cos β}{cos γ} . \end{matrix}

A sinus-tétel értelmében

\frac{sin γ}{sin β} = \frac{c}{b}

, a cosinus-tétel szerint pedig

cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}

, és

cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

, amely értékeket (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} \frac{c}{b} = \frac{b (a^{2} + c^{2} - b^{2})}{c (a^{2} + b^{2} - c^{2})}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} - c^{4} = a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} - b^{4}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} b^{4} - c^{4} = a^{2} (b^{2} - c^{2}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (b^{2} - c^{2}) [(b^{2} + c^{2}) - a^{2}] = 0. \end{matrix}

Ha az első tényező

0

, akkor

b = c

, vagyis a háromszög egyenlőszárú.
Ha a második tényező

0

, vagyis

b^{2} + c^{2} = a^{2}

, akkor a Pythagoras-tétel megfordítása alapján a háromszög derékszögű.

Roboz Ágnes (Bp. VI., Varga Katalin lg. III. o.)