Kezdőlap


Feladat:	555. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Makkai Mihály , Zsombok Zoltán
Füzet:	1954/március, 76 - 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Parabola egyenlete, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 555. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Válasszuk az adott parabolához azt a koordinátarendszert, amelyben a parabola egyenlete:

\begin{matrix} y^{2} = 2 p x . \end{matrix}

(1)

P_{1}

(x_{1}, y_{1})

és

P_{2}

(x_{2}, y_{2})

pontokban keresett érintők egyenletei:

\begin{matrix} y y_{1} = p (x + x_{1}) \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} y y_{2} = p (x + x_{2}) . \end{matrix}

(3)

Feltehetjük, hogy

y_{1} \neq y_{2}

, mert különben a metszéspont nyilván a tengelyen van, amely egyben a húr felező merőlegese, tehát ez esetben a tétel igaz.
Határozzuk meg a metszéspont ordinátáját. (2)-ből kivonva (3)-at

\begin{matrix} y (y_{1} - y_{2}) = p (x_{1} - x_{2}) . \end{matrix}

(4)

Mivel

P_{1}

és

P_{2}

rajta van a parabolán, azért (1) alapján

\begin{matrix} x_{1} = \frac{y_{1}^{2}}{2 p} és x_{2} = \frac{y_{2}^{2}}{2 p}, \end{matrix}

ezeket az értékeket (4)-be helyettesítve

\begin{matrix} y (y_{1} - y_{2}) = \frac{y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}{2} . \end{matrix}

Osztva

y_{1} - y_{2}

-vel

(y_{1} - y_{2} \neq 0)

\begin{matrix} y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \end{matrix}

(5)

vagyis a metszéspont rajta van az (5) alatti egyenesen, amely nem más, mint a

P_{1} P_{2}

húr felezőpontján áthaladó az

x

tengellyel, vagyis a parabola tengellyel párhuzamos egyenes.

Zsombok Zoltán (Bp., IV., Könyves Kálmán g. II. o. t.)

II. megoldás: Jelöljük a parabola

P_{1}

és

P_{2}

pontjaiban húzott érintőket

t_{1}

, ill.

t_{2}

-vel, metszéspontjuk legyen

K

(l. ábrát).

P_{1}

és

P_{2}

-nek merőleges vetülete a vezéregyenesen

R_{1}

és

R_{2}

. A parabola definíciójából következik, hogy

t_{1}

és

t_{2}

merőlegesen felezi az

F R_{1}

, ill.

F R_{2}

szakaszokat, ahol

F

a parabola fókusza, vagyis a

K

pont nem egyéb, mint az

F R_{1} R_{2} ▵

köré írt kör középpontja. A harmadik oldalt:

R_{1} R_{2}

-t merőlegesen felező egyenes tehát szükségképpen átmegy a

K

ponton felezi

M

-ben a

P_{1} P_{2}

szakaszt és ‐ mivel merőleges a vezéregyenesre ‐ párhuzamos a parabolatengellyel.

Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. I. o. t.)