|
Feladat: |
554. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bártfai P. , Biczó G. , Fuchs T. , Gergely J. , Grätzer Gy. , Kovács László , Pátkai Gy. , Quittner P. , Rázga T. , Vigassy József , Zawadowski Alfréd |
Füzet: |
1954/március,
74 - 76. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/szeptember: 554. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először megmutatjuk, hogy bármely két hasonló és megegyező körüljárású háromszöghöz található a síkban olyan pont, amelyből a két háromszög forgatva-nyújtással egymásba átvihető. Ha a megfelelő oldalak már az alaphelyzetben párhuzamosak (vagyis a két háromszög perspektívhelyzetű), akkor a külső hasonlósági centrum a keresett pont és forgatásra nincs szükség. Ha a perspektív helyzet mellett még a háromszögek egybevágósága is fennáll, akkor a végtelenbe kerül, vagyis a két háromszög párhuzamos eltolással vihető át egymásba. Ezekben a speciális esetekben tételünk bizonyítása triviális. 1. ábra Általában azonban a megfelelő oldalak metszéspontjai , , (1. ábra) a végesben vannak és ‐ mivel a két adott háromszög megfelelő szögei egyenlők ‐ 2‐2 megfelelő oldal szöge is mindenkor egyenlő. Ha ezt a szöget -vel jelöljük, akkor nyilván szöggel kell majd pl. az -et elforgatni az helyzetbe, hogy a két háromszög perspektív helyzetbe kerüljön egy pontra nézve, amely pontból való arányú kicsinyítés (ill. nagyítás) célhoz vezet. Tehát a keresett pontból az , , szakaszok az előbb meghatározott szög alatt látszanak. Megoldás mindig van, mert az és fölé rajzolt látókörívek ( és ) egyik közös pontja mindenesetre az pont, tehát kell hogy legyen még egy közös pontjuk. Ha az így megszerkesztett pont körül az -et szöggel elforgatjuk az helyzetbe, akkor a és az előbbiek alapján az és az háromszögek megfelelő oldalai párhuzamosak. Tehát e két háromszög perspektív helyzetben van, mely perspektivitásnak centruma az és egyenesek metszéspontja , de akkor szükségképpen egyenes átmegy az ponton, tehát a is egyenlő -vel, vagyis a fölé rajzolt ‐ -szögnek megfelelő ‐ látókörív is átmegy az ponton. 2. ábra Ha megszerkesztjük a feladat szerint az -et (2. ábra), akkor az előbbiek alapján a szerkesztés szerint és így | | és a körüljárás iránya is megegyező. De ebből következik, hogy a másik átló által lemetszett háromszögek is hasonlók és megegyező körüljárásúak, vagyis ami viszont azt jelenti, hogy forgatva-nyújtással keletkezik az -ből, tehát hozzá hasonló és egyező körüljárású.
Vigassy József (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.) |
|
|