Kezdőlap


Feladat:	554. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bártfai P. , Biczó G. , Fuchs T. , Gergely J. , Grätzer Gy. , Kovács László , Pátkai Gy. , Quittner P. , Rázga T. , Vigassy József , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1954/március, 74 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyéb sokszögek hasonlósága, Forgatva nyújtás, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 554. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először megmutatjuk, hogy bármely két hasonló és megegyező körüljárású háromszöghöz található a síkban olyan $O$ pont, amelyből a két háromszög forgatva-nyújtással egymásba átvihető.
Ha a megfelelő oldalak már az alaphelyzetben párhuzamosak (vagyis a két háromszög $≫$ perspektív $≪$ helyzetű), akkor a külső hasonlósági centrum a keresett $O$ pont és forgatásra nincs szükség. Ha a perspektív helyzet mellett még a háromszögek egybevágósága is fennáll, akkor $O$ a végtelenbe kerül, vagyis a két háromszög párhuzamos eltolással vihető át egymásba. Ezekben a speciális esetekben tételünk bizonyítása triviális.

1. ábra

Általában azonban a megfelelő oldalak metszéspontjai

O'

O''

O'''

(1. ábra) a végesben vannak és ‐ mivel a két adott háromszög megfelelő szögei egyenlők ‐ 2‐2 megfelelő oldal szöge is mindenkor egyenlő. Ha ezt a szöget

φ

-vel jelöljük, akkor nyilván

φ

szöggel kell majd pl. az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

-et elforgatni az

A_{1}^{*} B_{1}^{*} C_{1}

helyzetbe, hogy a két háromszög perspektív helyzetbe kerüljön egy

O

pontra nézve, amely

O

pontból való

\frac{O A_{2}}{O A_{1}^{*}} = \frac{O B_{2}}{O B_{1}^{*}} = \frac{O C_{2}}{O C_{1}^{*}}

arányú kicsinyítés (ill. nagyítás) célhoz vezet. Tehát a keresett

O

pontból az

A_{1} A_{2}

B_{1} B_{2}

C_{1} C_{2}

szakaszok az előbb meghatározott

φ

szög alatt látszanak. Megoldás mindig van, mert az

A_{1}

A_{2}

és

B_{1}

B_{2}

fölé rajzolt látókörívek (

k_{1}

és

k_{2}

) egyik közös pontja mindenesetre az

O'

pont, tehát kell hogy legyen még egy közös

O

pontjuk. Ha az így megszerkesztett

O

pont körül az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

-et

φ

szöggel elforgatjuk az

A_{1}^{*} B_{1}^{*} C_{1}^{*}

helyzetbe, akkor a

C_{1} O C_{1}^{*} ∢ = φ

és az előbbiek alapján az

A_{1}^{*} B_{1}^{*} C_{1}^{*}

és az

A_{2} B_{2} C_{2}

háromszögek megfelelő oldalai párhuzamosak. Tehát e két háromszög perspektív helyzetben van, mely perspektivitásnak centruma az

A_{1}^{*} A_{2}

és

B_{1}^{*} B_{2}

egyenesek metszéspontja

O

, de akkor szükségképpen

C_{1}^{*} C_{2}

egyenes átmegy az

O

ponton, tehát a

C_{1} O C_{2} ∢

is egyenlő

φ

-vel, vagyis a

C_{1} C_{2}

fölé rajzolt ‐

φ

-szögnek megfelelő ‐ látókörív is átmegy az

O

ponton.

2. ábra

Ha megszerkesztjük a feladat szerint az

A_{3} B_{3} C_{3} ▵

-et (2. ábra), akkor az előbbiek alapján

\begin{matrix} O A_{1} A_{2} ▵ \sim {O B}_{1} B_{2} ▵ \sim {O C}_{1} C_{2} ▵ \end{matrix}

a szerkesztés szerint

\begin{matrix} A_{1} A_{2} A_{3} ▵ \sim B_{1} B_{2} B_{3} ▵ \sim C_{1} C_{2} C_{3} ▵ \end{matrix}

és így

\begin{matrix} O A_{1} A_{3} A_{2} négyszög \sim {O B}_{1} B_{3} B_{2} \sim {O C}_{1} C_{3} C_{2} négyszög, \end{matrix}

és a körüljárás iránya is megegyező.
De ebből következik, hogy a másik átló által lemetszett háromszögek is hasonlók és megegyező körüljárásúak, vagyis

\begin{matrix} O A_{1} A_{3} ▵ \sim {O B}_{1} B_{3} ▵ \sim {O C}_{1} C_{3} ▵, \end{matrix}

ami viszont azt jelenti, hogy

A_{3} B_{3} C_{3} ▵

forgatva-nyújtással keletkezik az

A_{1} B_{1} C_{1}

-ből, tehát hozzá hasonló és egyező körüljárású.

Vigassy József (Bp., I., Petőfi g. IV. o. t.)