Kezdőlap


Feladat:	551. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Aujeszky G. , Bagi A. , Bártfai Pál , Bauer A. , Bauer K. , Beliczky G. , Bódás P. , Bonyhárd P. , Boros P. , Burger P. , Csanády M. , Csiszár I. , Eördögh L. , Fábián E. , Gaál I. , Gergely P. , Kiss Károly , Kovács László , Kovács Sámuel , Krammer G. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Makkai M. , Rácz M. , Reichlin-Meldegg V. , Rozsondai Z. , Szentai E. , Szondi E. , Szuromi L. , Tolnai T. , Tomor B. , Tóth Ildikó , Tranta F. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/február, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 551. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Felhasználva a $cotg x = {(tg x)}^{- 1}$ összefüggést, egyenletünk így írható:

\begin{matrix} x^{lg tg x} + \frac{1}{x^{lg tg x}} = 2. \end{matrix}

Legyen

x^{lg tg x} = y

, akkor

\begin{matrix} y + \frac{1}{y} = 2, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} y^{2} - 2 y + 1 = {(y - 1)}^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y_{1} = y_{2} = 1, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x^{lg tg x} = 1. \end{matrix}

Mindkét oldal logaritmusát véve

\begin{matrix} (lg tg x) lg x = lg 1 = 0. \end{matrix}

Tehát vagy

lg x = 0, amiből x_{1} = 1

vagy

lg tg x = 0, amiből tg x_{2} = 1

és így

\begin{matrix} x_{2} = \frac{π}{4} \pm k π, ahol k = 0,1,2, ... \end{matrix}

Lackner Györgyi (Bp., V., Fonó-, szövő- és hurkolóip. techn. III. o. t.)

II. megoldás:

\begin{matrix} x^{lg tg x} \cdot x^{lg cotg x} = x^{lg tg x + lgcotg x} = x^{lg (tg x cotg x)} = x^{lg 1} = x^{0} = 1. \end{matrix}

(1)

Egyenletünk pedig így írható:

\begin{matrix} \frac{x^{lg tg x} + x^{lg cotg x}}{2} = 1. \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből látható, hogy az egyenletünk baloldalán álló két tag mértani és számtani közepe egyenlő, amiből következik, hogy a két tag egyenlő és ‐ jelen esetben ‐ mindegyik külön-külön egyenlő

1

-gyel, vagyis

x^{lg tg x} = 1

stb. mint az I. megoldásban.

Bártfai Pál (Bp., I., Petőfi g. III. o. t.)