Kezdőlap


Feladat:	550. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Makkai Mihály
Füzet:	1954/február, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/szeptember: 550. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két mértani sor közös első tagja $a$ , az első sor hányadosa $p$ , a másodiké $q$ .

A második tagok különbsége

\begin{matrix} a p - a q = a (p - q) = 5, \end{matrix}

(1)

a harmadik tagok különbsége

\begin{matrix} a p^{2} - a q^{2} = a (p^{2} - q^{2}) = - \frac{5}{4}, \end{matrix}

(2)

a negyedik tagok különbsége

\begin{matrix} a p^{3} - a q^{3} = a (p^{3} - q^{3}) = \frac{35}{16} . . \end{matrix}

(3)

(2)-t elosztva (1)-gyel

\begin{matrix} p + q = - \frac{1}{4} . \end{matrix}

(4)

(3)-t elosztva (1)-gyel

\begin{matrix} p^{2} + p q + q^{2} = \frac{7}{16}, \end{matrix}

(5)

(4) négyzetéből levonva (5)-öt

\begin{matrix} p q = \frac{1}{16} - \frac{7}{16} = - \frac{6}{16} = - \frac{3}{8}, \end{matrix}

(6)

(4) és (6) alapján

p

és

q

\begin{matrix} x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{3}{8} = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei. Tehát

\begin{matrix} p_{1} = q_{2} = \frac{1}{2}, és p_{2} = q_{1} = - \frac{3}{4} . \end{matrix}

(1)-ből

\begin{matrix} a = \frac{5}{p - q} = \frac{5}{\pm \frac{5}{4}} = \pm 4. \end{matrix}

\begin{matrix} a_{1} = 4 esetén p > q, vagyis p_{1} = \frac{1}{2}, q_{1} = - \frac{3}{4}, \end{matrix}

és így a keresett két sor:

\begin{matrix} 4, 2, 1, \frac{1}{2}, ..., ill. 4,   -3,\frac{9}{4},  -\frac{27}{16},... \end{matrix}

\begin{matrix} a_{2} = - 4 esetén p < q, vagyis p_{2} = - \frac{3}{4}, q_{2} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

és így a második megoldásként kapjuk a

\begin{matrix} - 4, 3, - \frac{9}{4}, \frac{27}{6}, ... ill. -4, -2,  -1,  -\frac{1}{2},... \end{matrix}

sorokat.

Makkai Mihály (Bp., V., Eötvös g. I. o. t.)