Kezdőlap


Feladat:	548. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Beretvás T. , Csiszár I. , Csonka P. , Deseő Z. , Eördögh L. , Grätzer Gy. , Holbok S. , Kálmán Gy. , Kántor Sándor , Klafszky E. , Kovács László , Sóti F. , Theisz P. , Uray L. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/február, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 548. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a választott pontok távolsága a négyzet egyik oldalától $x$ ill. $y$ $(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1)$ . A választott pontok egymástól való távolsága Pythagoras tétele alapján $\sqrt[]{1 + {(x - y)}^{2}}$ . Ha ez a távolság kisebb a megadott $p$ távolságnál, vagyis

\begin{matrix} 1 + {(x - y)}^{2} < p^{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} | x - y | < \sqrt[]{p^{2} - 1}, \end{matrix}

és így

≫

kedvező

≪

esetben,
ha

x > y y > x - \sqrt[]{p^{2} - 1}

,
és ha

x < y y < x + \sqrt[]{p^{2} - 1}

.
Ha az

x

y

, értékpárt valamely pont koordinátáiként fogjuk fel a derékszögű koordináta-rendszerben, akkor az összes

≫

lehetséges terület

≪

az egységnyi oldalhosszúságú négyzet területe

(T = 1)

, míg a

≫

kedvező terület

≪

y = x - \sqrt[]{p^{2} - 1}

és

y = x + \sqrt[]{p^{2} - 1}

egyenespár alkotta sávnak a négyzetbe eső része:

t

(Az ábrában a sráfozott hatszög.) Ez utóbbi területe

t = T - {(1 - \sqrt[]{p^{2} - 1})}^{2} = 1 - (1 - 2 \sqrt[]{p^{2} - 1} + p^{2} - 1) = 1 - p^{2} + 2 \sqrt[]{p^{2} - 1}

,

és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} v = \frac{t}{T} = 1 - p^{2} + 2 \sqrt[]{p^{2} - 1} \end{matrix}

(Tényleg a kizárt szélső esetek: ha

p = 1

v = 0

, ha

p = \sqrt[]{2}, v = 1)

Kántor Sándor (Debrecen, Ref. g. IV. o. t.)