Feladat: 547. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bártfai P. ,  Beretvás T. ,  Biczó Géza ,  Csáki E. ,  Csiszár Imre ,  Csonka P. ,  Damjanovich L. ,  Deseő J. ,  Eördögh L. ,  Gaál I. ,  Gutay Z. ,  Gyapjas F. ,  Holbok S. ,  Kálmán Gy. ,  Kántor S. ,  Kovács L. ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Papp Z. ,  Péntek I. ,  Quittner P. ,  Rédly E. ,  Rockenbauer Magda ,  Sóti F. ,  Szentai E. ,  Theisz P. ,  Tomor B. ,  Uray L. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1954/február, 51 - 53. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/május: 547. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás:
a) Számítsuk ki annak valószínűségét (vA/B), hogy nincs a 3 lap között ász, azon feltétel mellett, hogy a 3 lap különböző színű.
Tehát

vA/B=vABvB,
ahol vAB annak valószínűsége, hogy mind a 3 lap különböző színű és nincs köztük ász, vB annak valószínűsége, hogy mind a 3 lap különböző színű.
vAB esetben kedvező a négy színnek bármely 3-ad osztályú kombinációja és minden egyes kombináció esetén az ászon kívüli 7 értéknek bármely ismétléses variációja. Tehát a kedvező esetek száma (43)73. Az összes lehetséges esetek száma pedig (323), vagyis
vAB=(43)73(323)
Hasonló meggondolással
vB=(43)83(323),
és így
vA/B=vABvB=7383=342512.
Tehát a keresett valószínűség
Vα=1-vA/B=1-343512=1695120,330.

b) Ha annak v' valószínűségét keressük, hogy a 3 lap közül nincs ász, akkor kedvező: a 4 ászon kívüli 28 lapnak bármelyik 3-ad osztályú kombinációja, vagyis
v'=(283)(323)=282726323130=791343110=8191240,
és így a keresett valószínűség
vb=1-v'=1-8191240=42112400,340.

c) Ha a keresett vc valószínűséget vAB-nek fogjuk fel, akkor
vAB=vA/BvB
ahol vA/B az a) pont alapján annyi, mint va=169512 és vB a 3 különböző színű lap valószínűsége, amely ‐ mint láttuk,
(43)83(323)=4836323130=82315=64155,
és így a keresett valószínűség
vc=vAB=16951264155=16912400,136.

 

Megjegyzés: VB így is kiszámítható: Annak valószínűsége, hogy másodszor más színt húzunk, mint elöször 2431, hogy harmadszorra ismét új színt húzunk 1630. Tehát vB=2431,1630=64155.
 

II. megoldás:
a) Ha mindig más színű lapot húzunk, akkor minden egyes húzásnál, annak valószínűsége, hogy nem húzunk ászt 78 , tehát a szorzási szabály alapján, annak a valószínűsége, hogy 3 húzás közül egy sem ász (78)3 feltéve, hogy mindig más színt húztunk. Tehát a keresett valószínűség
vα=1-(78)3=1-343512=169512.

b) Annak valószínűsége, hogy elsőre nem ászt húzunk 2832 hogy másodikra sem húzunk ászt 2731 harmadszorra sem 2630, vagyis annak valószínűsége, hogy 3 húzásra nem húzunk ászt
283227312630=8191240.
Tehát a keresett valószínűség
vb=1-8191240=4211240

c) 3 különböző szín tehetséges eseteinek száma ‐ mint láttuk ‐ (43)83. Ezek közül ász nélküli (43)73 eset, vagyis legalább 1 ászt tartalmaz (43)83-(43)73 eset, és így a keresett valószínűség
vc=4(83-73)(323)=4(83-73)6323130=83-738315=1691240.

Biczó Géza (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)

Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. I. o. t.)