|
Feladat: |
546. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Almási Z. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beretvás T. , Biczó G. , Boros P. , Csáki E. , Csanády M. , Csiszár Imre , Csonka P. , Damjanovich S. , Deseő Z. , Eördögh L. , Farkas F. , Gaál I. , Gergely J. , Goldstein R. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Hammer E. , Holbok S. , Horváth J. , Horváth Matild , Kántor S. , Klafaszky E. , Kovács László , Lábos E. , Lackner Györgyi , Marik M. , Papp Z. , Pasitka B. , Pátkai Gy. , Peák I. , Rácz M. , Rédly E. , Reichlin V. , Rockenbauer Magda , Sóti F. , Theisz P. , Tóber E. , Tomor B. , Varga Gy. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z. |
Füzet: |
1954/február,
49 - 51. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szabályos testek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/május: 546. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A betűzést az 1. ábra mutatja. 1. ábra Legyen és , akkor és egyenlőszárú derékszögű háromszögek, amelyeknek átfogója egyenlő. Tehát és így -töl függetlenül mindig vagyis . Ebből viszont következik, mivel állandóan az síkban mozog, hogy állandóan párhuzamos az síkkal. (Egy egyenes párhuzamos egy síkkal, ha egy a síkban fekvő egyenessel párhuzamos.) Mivel az síkra (mert e síknak két különböző irányú egyenesére - és -re merőleges), azért az síkkal párhuzamos is állandóan merőleges -re. Az -en átmenő -re merőleges sík messe az -t a pontban. Tehát és Az távolság felezőpontjának merőleges vetülete az síkon szükségképpen felezőpontja , és merőleges vetülete az négyzetlapra felezi az távolságot. ( ill. az derékszögű háromszög középvonalai.) Tehát, ha változik -tól -ig, az felezőpont leír a térben egy olyan mértani helyet, amelynek merőleges vetülete az négyzetlapon az pont által befutott súlyvonala az -nek, míg az síkon levő vetület leírja a súlyvonalát a -nek. Ebből következik, hogy pontok mértani helye a távolság, ahol az négyzetoldal, a négyzetoldal felezőpontja. 2. Pythagoras tételének felhasználásával
Ennek a függvénynek ábrája egy parabolaív a intervallumban. E parabolaív végpontjai: és pontok. így is írható: amiből kitűnik, hogy , és vele együtt értéke minimális, ha a sohasem negatív első tag , vagyis, ha | | Tehát a parabola főtengelye az egyenes, és csúcspontja az pont (2. ábra). 2. ábra 3. Mint láttuk, minimális, ha , vagyis és négyzetközép-pontok, és minimális értéke . Tehát ebben az esetben az és a háromszögek egyenlőoldalúak és így kimondhatjuk: ha minimális, akkor , és . 4. Mivel is , azért az mert mindhárom háromszög derékszögű és befogóik egyenlők. Ebből következik az átfogók egyenlősége, vagyis az és az egyenlőszárú, , ill. alappal. Tehát
Ebből kitűnik, hogy az feltevés arra vezetne, hogy és egyidejűleg volna, ami nyilván lehetetlen, tehát tényleg nem lehet egyszerre mindkét átlóra merőleges. 5. esetén | | amiből és így
Csiszár Imre (Bp., I., Petőfi g. I. o. t.) |
|
|