Kezdőlap


Feladat:	545. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bártfai P. , Biczó G. , Csáki E. , Csiszár I. , Csonka P. , Deseő Z. , Gaál I. , Grätzer Gy. , Gyapjas F. , Hammer E. , Holbok S. , Kántor S. , Lábos E. , Lackner Györgyi , Rázga T. , Rockenbauer Magda , Sóti F. , Tomor B. , Zobor E.
Füzet:	1954/január, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 545. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk így is írható

\begin{matrix} 1 + z^{2} = x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} + 1 = (x^{2} - 1) (y^{2} - 1) . \end{matrix}

(1)

Először bebizonyítjuk, hogy (1)-ben mindkét oldal csak páratlan lehet. Tegyük ugyanis fel, hogy a baloldal páros, akkor

z^{2}

és

z

is páratlan, de páratlan szám négyzete mindig

4 k + 1

alakú, vagyis a baloldal csak

4 k + 2

alakú lehet. A jobboldal viszont csak úgy lehetne páros, ha legalább egyik tényezője páros, de ez esetben az

4 k'

alakú volna, vagyis a jobboldal osztható volna 4-gyel, amíg a baloldal nem. Tehát (1) mindkét oldala csak páratlan lehet, tehát kell, hogy

x

y

z

páros legyen.
Legyen

\begin{matrix} x = 2^{α} \cdot t, y = 2^{β} \cdot u, z = 2^{γ} \cdot v, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} α, β, γ \geq 1, és t, u, v páratlan . \end{matrix}

Egyenletünk tehát így alakul:

\begin{matrix} 2^{2 α} \cdot t^{2} + 2^{2 β} \cdot u^{2} + 2^{2 γ} \cdot v^{2} = 2^{2 α + 2 β} \cdot t^{2} u^{2} \end{matrix}

(2)

α

β

γ

pozitív egész számok között mindig van legalább egy olyan, amelynél kisebb nincs, legyen ez pl.

α

. Tehát

α \leq β

, és

α \leq γ

.
(2)-t osztva

2^{2 α}

-val

\begin{matrix} t^{2} + 2^{2 (β - α)} \cdot u^{2} + 2^{(γ - α)} \cdot v^{2} = 2^{2 β} t^{2} u^{2} . \end{matrix}

(3)

Mivel

t^{2}

páratlan, (3) baloldala csak úgy lehet páros, ha a másik két tag közül az egyik páratlan a másik páros, vagyis

β - α

és

γ - α

közül az egyik 0, a másik nem 0. Ez esetben azonban a baloldal áll két páratlan szám négyzetének összegéből, amely

4 k + 2

alakú, melyhez adandó egy páros szám négyzete, amely 4-gyel osztható. Tehát a baloldal

4 K + 2

alakú, míg a jobboldal

4 K'

alakú. Tehát az

x = y = z = 0

kivételével, minden más feltevés ellentmondásra vezetett.