|
Feladat: |
543. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Almási Z. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beke Gy. , Beretvás T. , Biczó G. , Csáki Endre , Csanády M. , Csere Ilona , Csiszár I. , Csonka P. , Damjanovich S. , Deseő Zoltán , Eördögh L. , Farkas F. , Gaál I. , Gergely P. , Goldstein R. , Grätzer Gy. , Gyapjas F. , Holbok S. , Horváth Matild , Joó F. , Kovács László , Lábos E. , Lackner Györgyi , Paák I. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Péntek Z. , Quittner P. , Rédly E. , Schmidt Eligius , Sóti F. , Theisz P. , Tomor B. , Varga Gy. , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zobor E. , Zsombok Z. |
Füzet: |
1954/január,
22 - 24. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Ellipszis egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Alakzatok hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/május: 543. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Legyen az ellipszis egyenlete A pontban az érintő egyenlete Ezen érintőnek az és csúcspontokban emelt csúcsérintőkkel való metszéspontja: | |
Az fókusznak összekötése -mel az egyenes, amelynek iránytényezője Hasonlóképpen iránytényezője Az iránytényezők szorzata | | de , és mivel rajta van az ellipszisen, azért , és így Tehát tényleg és derékszöget zár be. Természetesen teljesen hasonlóképpen bizonyítható tételünk -re nézve is.
Deseő Zoltán (Bp., X., I. László g. III. o. t.) |
1. ábra II. megoldás: A jelölést az 1. ábra mutatja. Az fókuszból a pontban érintő egyenesre bocsátott merőleges talppontja , amely rajta van az ellipszis főkörén. Tehát derékszögű háromszög, amelynek derékszöge a csúcsnál van. Ebből következik továbbá, hogy az és négyszögekben 2 ‐ 2 szembenfekvő szög: és , ill. és derékszög, vagyis e négyszögek húrnégyszögek, s így az előbbiben az közös íven nyugvó és , az utóbbiban pedig az és egyenlő. Ebből viszont következik, hogy az vagyis az derékszög.
Csáki Endre (Győr, Révai g.) |
2. ábra III. megoldás: A jelölést a 2. ábra mutatja. Legyen az fókusz tükörképe a két csúcsérintőre vonatkozóan és , továbbá az érintőre nézve: . A tükrözés miatt és is így 3 oldal egyenlősége miatt amiből következik, hogy az -ének belső szögfelezője. Hasonlóképpen a tükrözés alapján és és így a 3 oldal egyenlősége miatt amiből következik, hogy az -ének külső szögfelezője, amely tudvalevőleg merőleges az belső szögfelezőre.
Schmidt Eligius (Bp., I., Fürst S. g. III. o. t.) |
|
|