Feladat: 543. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási Z. ,  Bártfai P. ,  Beke Éva és Mária ,  Beke Gy. ,  Beretvás T. ,  Biczó G. ,  Csáki Endre ,  Csanády M. ,  Csere Ilona ,  Csiszár I. ,  Csonka P. ,  Damjanovich S. ,  Deseő Zoltán ,  Eördögh L. ,  Farkas F. ,  Gaál I. ,  Gergely P. ,  Goldstein R. ,  Grätzer Gy. ,  Gyapjas F. ,  Holbok S. ,  Horváth Matild ,  Joó F. ,  Kovács László ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Paák I. ,  Papp Z. ,  Pátkai Gy. ,  Péntek Z. ,  Quittner P. ,  Rédly E. ,  Schmidt Eligius ,  Sóti F. ,  Theisz P. ,  Tomor B. ,  Varga Gy. ,  Vigassy J. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zobor E. ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1954/január, 22 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ellipszis egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Alakzatok hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/május: 543. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen az ellipszis egyenlete

x2a2+y2b2=1.
A P(x0,y0) pontban az érintő egyenlete
x0xa2+y0yb2=1.
Ezen érintőnek az A(-a,0) és B(a,0) csúcspontokban emelt csúcsérintőkkel való metszéspontja:
M(-a,b2y0(1+x0a)),ill.N(a,b2y0(1+x0a))

Az F1(-c,0) fókusznak összekötése M-mel az F1M egyenes, amelynek iránytényezője
m=-b2y0(1+x0a)a-c
Hasonlóképpen F1N iránytényezője
n=b2y0(1-x0a)a+c
Az iránytényezők szorzata
mn=-(b2y0)2(1-x02a2)a2-c2
de a2-c2=b2, és mivel P rajta van az ellipszisen, azért 1-x02a2=y02b2, és így
mn=-b4y02y02b2b2=-1.

Tehát tényleg F1M és F1N derékszöget zár be.
Természetesen teljesen hasonlóképpen bizonyítható tételünk F2-re nézve is.
 

Deseő Zoltán (Bp., X., I. László g. III. o. t.)

 
 
1. ábra
 

II. megoldás: A jelölést az 1. ábra mutatja. Az F1 fókuszból a P pontban érintő MN egyenesre bocsátott merőleges talppontja T, amely rajta van az ellipszis főkörén. Tehát ATB derékszögű háromszög, amelynek derékszöge a T csúcsnál van. Ebből következik továbbá, hogy az AFTM és BFTN négyszögekben 2 ‐ 2 szembenfekvő szög: A és T, ill. B és T derékszög, vagyis e négyszögek húrnégyszögek, s így az előbbiben az F1T közös íven nyugvó F1AT és F1MT, az utóbbiban pedig az F1BT és F1NT egyenlő. Ebből viszont következik, hogy az
MF1NATB,
vagyis az MF1N derékszög.
 

Csáki Endre (Győr, Révai g.)

 
 
2. ábra
 

III. megoldás: A jelölést a 2. ábra mutatja. Legyen az F2 fókusz tükörképe a két csúcsérintőre vonatkozóan F'2 és F''2, továbbá az MN érintőre nézve: F2'''. A tükrözés miatt
NF2''=NF2=NF2''',
és
F1F2''=AB=F1F2''',
is így 3 oldal egyenlősége miatt
F1NF2''F1NF2''',
amiből következik, hogy F1N az F1F2P F1-ének belső szögfelezője.
Hasonlóképpen a tükrözés alapján
MF2'=MF2=MF2''',
és
F1F2'=AB=F1F2''',
és így a 3 oldal egyenlősége miatt
MF1F2'MF1F2''',
amiből következik, hogy F1M az F1F2P  F1-ének külső szögfelezője, amely tudvalevőleg merőleges az F1N belső szögfelezőre.
 

Schmidt Eligius (Bp., I., Fürst S. g. III. o. t.)