Kezdőlap


Feladat:	541. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aujeszky G. , Balla G. , Bártfai P. , Beke Gy. , Biczó G. , Csáki E. , Csanády M. , Damjanovich S. , Deák I. , Deseő Z. , Eördögh L. , Farkas F. , Gaál I. , Grätzer Gy. , Gyapjas F. , Holbok S. , Kántor S. , Klafszky E. , Kohl Katalin , Kovács László , Lábos E. , Lackner Györgyi , Marik M. , Rédly E. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Sóti F. , Theisz P. , Tomor B. , Tóth Ágota , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zobor Ervin , Zsombok Z.
Füzet:	1954/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/május: 541. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételünk csak pozitív szögek esetére van értelmezve, azért így is fogalmazható: Valamely háromszög szögeire nézve a félszögek tangenseinek szorzata a legnagyobb, ha a háromszög egyenlőoldalú. $($ Ugyanis ${tg}^{3} 30^{\circ} = {(\frac{\sqrt[]{3}}{3})}^{3} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{27} = \frac{\sqrt[]{3}}{9})$ .
Valamely háromszög szögeire nézve ismeretesek a következő összefüggések

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}, tg \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{s (s - b)}}, tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{s (s - c)}} . \end{matrix}

ahol

s = \frac{a + b + c}{2}

, és

a

b

c

a háromszög oldalai.
Tehát

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{s^{3}}}, \end{matrix}

(1)

ahol

s = a

s - b

és

s - c

mindig pozitív mennyiségek.

Alkalmazva a mértani és számtani közép közötti egyenlőtlenséget

\begin{matrix} \sqrt[3]{(s - a) (s - b) (s - c)} \leq \frac{s - a + s - b + s - c}{3} = \frac{3 s - 2 s}{3} = \frac{s}{3} . \end{matrix}

(2)

Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha

s - a = s - b = s - c

, vagyis a háromszög szabályos.

(2)-ből köbreemelés után

\begin{matrix} (s - a) (s - b) (s - c) \leq \frac{s^{3}}{27}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} \leq \sqrt[]{\frac{1}{27}} = \sqrt[]{\frac{3}{81}} = \frac{\sqrt[]{3}}{9} . \end{matrix}

Megjegyzés: (1) így is írható:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{β}{2} tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{s^{4}}} = \frac{t}{s^{2}}, \end{matrix}

ahol

t

a háromszög területét jelenti. Tehát tételünk így is fogalmazható: az állandó (

2 s

) kerületű háromszögek közül az egyenlő oldalú háromszög területe

(t = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} = \frac{{(\frac{2 s}{3})}^{2} \sqrt[]{3}}{4} = \frac{\sqrt[]{3}}{9} s^{2})

legnagyobb. Viszont ez utóbbi tételnek következménye a most bebizonyított tétel.

Zobor Ervin (Nagykanizsa, Irányi g. IV. o. t.)