|
Feladat: |
541. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Aujeszky G. , Balla G. , Bártfai P. , Beke Gy. , Biczó G. , Csáki E. , Csanády M. , Damjanovich S. , Deák I. , Deseő Z. , Eördögh L. , Farkas F. , Gaál I. , Grätzer Gy. , Gyapjas F. , Holbok S. , Kántor S. , Klafszky E. , Kohl Katalin , Kovács László , Lábos E. , Lackner Györgyi , Marik M. , Rédly E. , Reichlin V. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Sóti F. , Theisz P. , Tomor B. , Tóth Ágota , Vigassy J. , Zawadowski Alfréd , Zobor Ervin , Zsombok Z. |
Füzet: |
1954/január,
19 - 20. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometrikus egyenletek, Trigonometria, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/május: 541. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tételünk csak pozitív szögek esetére van értelmezve, azért így is fogalmazható: Valamely háromszög szögeire nézve a félszögek tangenseinek szorzata a legnagyobb, ha a háromszög egyenlőoldalú. Ugyanis . Valamely háromszög szögeire nézve ismeretesek a következő összefüggések | | ahol , és , , a háromszög oldalai. Tehát | | (1) | ahol , és mindig pozitív mennyiségek.
Alkalmazva a mértani és számtani közép közötti egyenlőtlenséget | | (2) | Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha , vagyis a háromszög szabályos.
(2)-ből köbreemelés után vagyis Megjegyzés: (1) így is írható: | | ahol a háromszög területét jelenti. Tehát tételünk így is fogalmazható: az állandó () kerületű háromszögek közül az egyenlő oldalú háromszög területe legnagyobb. Viszont ez utóbbi tételnek következménye a most bebizonyított tétel.
Zobor Ervin (Nagykanizsa, Irányi g. IV. o. t.) |
|
|