|
Feladat: |
540. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ambrus L. , Beke Éva és Mária , Beretvás T. , Csáki E. , Csanády M. , Csiszár I. , Deseő Z. , Eördögh Z. , Gergely P. , Grätzer Gy. , Gyapjas F. , Harza T. , Horváth J. , Kántor S. , Klafszky E. , Kovács László , Lábos E. , Marik M. , Mercz F. , Mohos B. , Papp Z. , Tolnai T. , Tomor B. , Uray L. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z. |
Füzet: |
1954/január,
18 - 19. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Geometriai valószínűség, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/április: 540. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel biztos, hogy a fémlemez középpontja valamely háromszög belsejébe vagy határvonalára esik, azért elég egy háromszöget vizsgálni, melynek oldalát tekintjük hosszegységnek. Legyen a fémlemez keresett átmérője . Mindjárt leszögezhetjük, hogy szükségképpen kisebb a beírt kör sugaránál, mert különben a fémlemez nem eshetne teljes terjedelmével a háromszög belsejébe. Tehát A kedvező terület a lemez középpontjára nézve, abban az esetben, ha a lemez teljesen a háromszög belsejébe esik, a háromszög belsejében lévő szabályos háromszög, melynek oldalai párhuzamosak az oldalaival és utóbbiaktól távolságnyira vannak (1. ábra). 1. ábra oldala és így területe . Abban az esetben, ha a fémlemez két oldalt részben elfed, de csúcspontot nem, a fémlemez centrumára kedvező terület az egyes csúcspontoknál az oldalai és az oldalainak meghosszabbításai által határolt rombusz, kivonva az sugarú -os körcikket (2. ábra). 2. ábra Egy ilyen 5 oldalú, vegyesvonalú idom területe tehát . Mivel pedig 3 ilyen idom van, azért a kedvező terület . Feladatunk szerint a két kedvező terület egyenlő, vagyis Ez -re nézve másodfokú egyenlet, mely rendezés után ilyen alakú amiből | | és így | |
Az miatt nem jöhet számításba, tehát a keresett átmérő . Megjegyzés: Ha a fémkörlap középpontja az idom belsejébe esik, akkor a fémlemez 3 háromszög oldalt fed le részben (a harmadik a szomszédos háromszögek egyikének oldala). Precízebb lett volna a legalább két háromszög-oldalt fogalmazás.
Kovács László (Debrecen, Ref. g. III. o. t.) |
|
|