Kezdőlap


Feladat:	538. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási L. , Ambrus G. , Bakos T. , Bártfai P. , Berényi Katalin , Beretvás T. , Biczó Géza , Borbély J. , Bujdosó A. , Csáki E. , Csanády M. , Csiszár I. , Damjanovich S. , Deseő Z. , Döbrösy L. , Eördögh L. , Frivaldszky J. , Gergely J. , Gergely P. , Gutay L. , Holbok S. , Horváth Jenő , Huszár k. , Kántor S. , Kézdy P. , Klafszky E. , Kulcsár Zsuzsa , Lábos E. , Lackner Györgyi , Magyar K. , Mohos B. , Molnár István , Péntek L. , Quittner P. , Rédly E. , Reichlin V. , Rockenbauer Magda , Sohár P. , Sóti F. , Szabó D. , Theisz P. , Tolnai T. , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1954/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Szabályos testek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/április: 538. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük rendre az egyes testek éleit $a$ , $b$ , $c$ -vel, felszínét $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ -mal és köbtartalmát $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ -mal.

\begin{matrix} F_{1} = 4 \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} = a^{2} \sqrt[]{3}, F_{2} = 6 b^{2}, F_{3} = 8 \frac{c^{2}}{4} \sqrt[]{3} = 2 c^{2} \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A feladat szerint

F_{1} = F_{2} = F_{3}

, vagyis

\begin{matrix} a^{2} \sqrt[]{3} = 6 b^{2}, amiből a = \sqrt[]{2 \sqrt[]{3} b^{2}} = b \sqrt[4]{12}, \\ 2 c^{2} \sqrt[]{3} = 6 b^{2}, amiből c = \sqrt[]{\sqrt[]{3} b^{2}} = b \sqrt[4]{3} . \end{matrix}

A testek köbtartalma:

\begin{matrix} k_{1} = \frac{1}{3} \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{a^{2} - {(\frac{2}{3} \cdot \frac{a^{2}}{2} \sqrt[]{3})}^{2}} = \frac{a^{2}}{12} \sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a^{2}}{12} \sqrt[]{3} \cdot a \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}} = \frac{a^{3} \sqrt[]{2}}{12}, \\ k_{1} = b^{3}, \\ k_{3} = 2 \cdot \frac{1}{3} c^{2} \cdot \frac{c \sqrt[]{2}}{2} = \frac{c^{3} \sqrt[]{2}}{3} . \end{matrix}

a

és

c

értékeit behelyettesítve

\begin{matrix} k_{1} = \frac{{(b \sqrt[4]{12})}^{3} \sqrt[]{2}}{12} = \frac{b^{3} \sqrt[4]{12^{3}} \sqrt[4]{4}}{12} = \frac{b^{3} \sqrt[4]{3^{3} 4^{3} 4}}{12} = \frac{b^{3} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}, \\ k_{3} = \frac{{(b \sqrt[4]{3})}^{3} \sqrt[]{2}}{3} = \frac{b^{3} \sqrt[4]{3^{3}} \sqrt[4]{4}}{3} = \frac{b^{3} \sqrt[4]{3^{3} 4}}{3} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} k_{1} : k_{2} : k_{3} = \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3} : 1 : \frac{\sqrt[4]{3^{3} 4}}{3} = 1 : \sqrt[4]{3} : \sqrt[]{2} = \sqrt[4]{1} : \sqrt[4]{3} : \sqrt[4]{4} \approx 1 : 1, 316 : 1, 414. \end{matrix}

Biczó Géza (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Jelölje

F

a közös felszínt.
a)

\frac{F}{4} = \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4}

, amiből

a = \sqrt[]{\frac{F \sqrt[]{3}}{3}}

,

és így

\begin{matrix} k_{1} = a^{3} \frac{\sqrt[]{2}}{12} = \frac{F \sqrt[]{3}}{3} \cdot \sqrt[]{\frac{F \sqrt[]{3}}{3}} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{12} = \frac{F \sqrt[]{F}}{36} \sqrt[4]{12} . \end{matrix}

\frac{F}{6} = b^{2}

, amiből

b = \sqrt[]{\frac{F}{6}}

,

és így

\begin{matrix} k_{2} = b^{3} = \frac{F}{6} \sqrt[]{\frac{F}{6}} = \frac{F \sqrt[]{F}}{6 \sqrt[]{6}} = \frac{F \sqrt[]{F}}{36} \sqrt[]{6} . \end{matrix}

\frac{F}{8} = \frac{c^{2} \sqrt[]{3}}{4}

, amiből

c = \sqrt[]{\frac{F \sqrt[]{3}}{6}}

,

és így

\begin{matrix} k_{3} = c^{3} \frac{\sqrt[]{2}}{3} = \frac{F \sqrt[]{3}}{6} \sqrt[]{\frac{F \sqrt[]{3}}{6}} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{3} = \frac{F \sqrt[]{F}}{18} \sqrt[4]{3} = \frac{F \sqrt[]{F}}{36} \sqrt[4]{48} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} k_{1} : k_{2} : k_{3} = \sqrt[4]{12} : \sqrt[4]{36} : \sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{1} : \sqrt[4]{3} : \sqrt[4]{4} . \end{matrix}

Molnár István (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)