Kezdőlap


Feladat:	537. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási L. , Ambrus G. , Bártfai P. , Beke Éva és Mária , Beretvás T. , Biczó G. , Bujdosó A. , Csáki E. , Csiszár I. , Damjanovich S. , Deseő Z. , Farkas F. , Frivaldszky J. , Gaál I. , Gergely J. , Grätzer György , Horváth J. , Huszár k. , Joó F. , Kántor S. , Klafszky E. , Kovács László (Debrecen) , Lábos E. , Lackner Györgyi , Magyar K. , Mohos B. , Molnár I. , Németh Gy. , Papp Z. , Peák I. , Quittner P. , Rédly E. , Rockenbauer M. , SohárP. , Sóti F. , Szabó D. , Szuromi L. , Tahy P. , Tilesch F. , Tóber E. , Tolnai T. , Tomor B. , Uray L. , Varga György (Baja) , Varga Tünde , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1954/január, 14 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/április: 537. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) $B O = A B - A O = a - x$ ,

\begin{matrix} B D = \sqrt[]{B A \cdot B C} = \sqrt[]{a (a - 2 x)} . \end{matrix}

Mivel az

A E B

és

D O B

derékszögű háromszögek

B

csúcsnál fekvő szöge közös azért

\begin{matrix} A E B_{△} \sim D O B_{△}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A E : A B = D O : D B, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} A E = \frac{A B \cdot D O}{D B} = \frac{a x}{\sqrt[]{a (a - 2 x)}} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} B E : B A = B O : B D, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} B E = \frac{B A \cdot B O}{B D} = \frac{a (a - x)}{\sqrt[]{a (a - 2 x)}} . \end{matrix}

O D B

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} O D^{2} = O H \cdot O B, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} O H = \frac{O D^{2}}{O B} = \frac{x^{2}}{a - x} . \end{matrix}

Végül

\begin{matrix} A H = A O + O H = x + \frac{x^{2}}{a - x} = \frac{a x}{a - x} . \end{matrix}

b) A

B E

szakasz,

A B

körül forgatva, forgáskúpfelületet ír le, melynek felszíne

\begin{matrix} F_{1} = A E \cdot π \cdot B E = \frac{a x}{\sqrt[]{a (a - 2 x)}} \cdot \frac{a (a - x)}{\sqrt[]{a (a - 2 x)}} \cdot π = \frac{a x (a - x) π}{a - 2 x} . \end{matrix}

A megforgatott

A D

ív által leírt gömbsüveg felszíne

\begin{matrix} F_{2} = 2 O D \cdot π \cdot A H = 2 x π \frac{a x}{a - x} = \frac{2 a x^{2} π}{a - x} . \end{matrix}

\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{2 a x^{2} π}{a - x} \cdot \frac{a - 2 x}{a x (a - x) π} = \frac{2 x (a - 2 x)}{{(a - x)}^{2}} = m

.
Tehát

x

-re a következő másodfokú egyenletet nyertük

\begin{matrix} (m + 4) x^{2} - 2 a (m + 1) x + m a^{2} = 0. \end{matrix}

Megjegyezzük, hogy értelmezésénél fogva,

x

csak 0 és

\frac{a}{2}

közötti értékeket vehet fel.

Egyenletünk diszkriminánsa

\begin{matrix} D = 4 a^{2} {(m + 1)}^{2} - 4 m a^{2} (m + 4) = 4 a^{2} (1 - 2 m), \end{matrix}

amely akkor nem negatív, ha

\begin{matrix} 1 - 2 m \geq 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} m \leq \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ha tehát

0 < m < \frac{1}{2}

, akkor két különböző valós gyököt kapunk:

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{m + 1 \pm \sqrt[]{1 - 2 m}}{m + 4} \cdot a, \end{matrix}

amelyek tényleg pozitívek és

\frac{a}{2}

-nél kisebbek. (Csak

m = 0

esetén volna

x_{1} = \frac{1 + 1}{4} a = \frac{a}{2}

x_{2} = \frac{1 - 1}{4} a = 0)

. Ha

m = \frac{1}{2}

, akkor a két gyök egybeesik

\begin{matrix} x_{1} = x_{2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}} a = \frac{a}{3} . \end{matrix}

m > \frac{1}{2}

, akkor nincs megoldás.

Grätzer György (Bp., VI., Kölcsey g. III. o. t.)