Feladat: 536. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csáki Endre 
Füzet: 1954/január, 13. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Parabola, mint mértani hely, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/április: 536. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen F egy a feltételt kielégítő parabola fókusza, d a direktrixe (l. ábrát).

 
 

A P-ből d-re bocsátott merőleges talppontja legyen D és P tükörképe a DF egyenesre nézve legyen T. A parabola definíciójából és a tükrözésből következik, hogy az FPDT idom rombusz. Miután F és D csúcsérintőtől egyenlő távolságra vannak, azért P és T is egyenlő távolságra vannak e-től. Mivel P és e adott szilárd elemek, azért ez a távolság, melyet a-val jelölünk, állandó és így független a változó F parabolafókusztól. Tehát akárhogyan is változnak a feltételeinknek megfelelő parabolák F fókuszai (és velük együtt a d direktrixek), a változó parabolák T pontjai egy az e egyenessel párhuzamos, e-től a távolságban lévő, t egyenesen vannak, vagyis mindenkor FT=FP. Tehát az F pontok mértani helye az a parabola, amelynek fókusza P, direktixe t (csúcsérintője e). Könnyű belátni, hogy az e parabolán fekvő F pontok által meghatározott parabolák tényleg megfelelnek feltételeinknek (ha F a parabola csúcspontjában van, akkor a megfelelő parabola egyenessé fajul) és a sík egyéb pontjai nem felelhetnek meg.
 

Csáki Endre (Győr, Révai g. IV. o. t.)