Feladat: 535. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balla G. ,  Bártfai P. ,  Beke Gy. ,  Beretvás T. ,  Biczó G. ,  Boros P. ,  Csáki E. ,  Csanády M. ,  Csiszár I. ,  Damjanovich S. ,  Deseő Zoltán ,  Eöllös P. ,  Eördögh L. ,  Farkas F. ,  Gaál I. ,  Gergely J. ,  Gergely P. ,  Gutay L. ,  Gyapjas F. ,  Holbok S. ,  Kántor S. ,  Kovács László (Debrecen) ,  Lábos E. ,  Lackner Györgyi ,  Marik M. ,  Mohos B. ,  Molnár I. ,  Nagy Sándor ,  Németh György ,  Orlik P. ,  Papp Z. ,  Quittner P. ,  Rédly E. ,  Reichlin V. ,  Rockenbauer Magda ,  Szabó D. ,  Tarlacz L. ,  Theisz P. ,  Tilesch F. ,  Tóber E. ,  Tomor B. ,  Uray L. ,  Varga György (Baja) ,  Vigassy J. ,  Zawadowski Alfréd ,  Zsombok Z. 
Füzet: 1954/január, 12 - 13. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/április: 535. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a parabola azon körök középpontjainak mértani helye, amelyek egy adott(d) egyenest érintenek és egy adott (F) ponton átmennek, azért feladatunk így is fogalmazható: Keressünk olyan kört, amelynek középpontja az e egyenesen van, amely érinti d-t és átmegy az F ponton. Ha d-nek az e-re vonatkozó tükörképe d', akkor tulajdonképpen a d és d' egyeneseket érintő és az F ponton átmenő köröket keresünk. Megoldás tehát csak akkor van, ha F és e nincsenek elválasztva egymástól sem d, sem d' által.
A szerkesztés ‐ mint ismeretes ‐ kétféleképpen végezhető el: hasonlósággal és mértani középarányossal. (L. ≫K. M. L.≪1952. okt. V. köt. 2. sz. 46. old. 421. sz. feladat.)

 

I. megoldás (hasonlósággal): A d és d'-t érintő körök külső hasonlósági pontja d és e metszéspontja E (1. ábra).
 
 
1. ábra
 

Vegyünk egy tetszőleges O középpontú érintőkört, amelyből az EF egyenes kimetszi az F1 és F2 pontokat. Az F-en át OF1, ill. OF2-vel húzott párhuzamosok metszik ki az e egyenesből az O1 és O2 parabolapontokat.
 

Lackner Györgyi (Bp., V., 1. sz. textilip. techn. II. o. t.)

 
 
2. ábra
 

II. megoldás (mértani középarányossal): A keresett kör szükségképpen átmegy az F pontnak e-re vonatkozó tükörképén, F'-n. Messe FF' a d egyenest S-ben. A keresett köröknek d-n lévő érintési pontjait E1 és E2-vel jelölve, S pontnak hatványa SE12=SE12=SF⋅SF'. Ennek alapján az E1 és E2 érintési pontok és a P1, P2 körközéppontok, melyek egyszersmind a keresett parabolapontok, megszerkeszthetők (2. ábra).
 

Deseő Zoltán (Bp., I., László g. III. o. t.)