Kezdőlap


Feladat:	534. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borbély János
Füzet:	1953/december, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/április: 534. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett időpont $8 + x$ óra és legyen akkor a gépkocsi az $A_{1}$ , a kerékpáros a $B_{1}$ és a gyalogosa $C_{1}$ pontban (l. ábrát).

A feladat szerint,

km

-ekben beszélve:

\begin{matrix} C B_{1} = 18 x, A B_{1} = 10 - 18 x, C A_{1} = 2 + 60 x, \\ A C_{1} = 6 \cdot \frac{76}{60} + 6 x = 7, 6 + 6 x . \end{matrix}

Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} B_{1} A_{1}^{2} = {C B}_{1}^{2} + {C A}_{1}^{2} = 324 x^{2} + {(2 + 60 x)}^{2} . \end{matrix}

(1)

A cosinus-tétel értelmében

\begin{matrix} B_{1} C_{1}^{2} = A B_{1}^{2} + {A C}_{1}^{2} - 2 A B_{1} \cdot A C_{1} cos 60^{\circ} = \\ = {(10 - 18 x)}^{2} + {(7, 6 + 6 x)}^{2} - (10 - 18 x) (7, 6 + 6 x) . & (2) \end{matrix}

Feladatunk szerint (1) és (2) baloldala egyenlő, tehát a jobb oldalak is egyenlők vagyis

\begin{matrix} 324 x^{2} + {(2 + 60 x)}^{2} = {(10 - 18)}^{2} + {(7, 6 + 6 x)}^{2} - (10 - 18 x) (7, 6 + 6 x) . \end{matrix}

A zárójeleket felbontva, rendezve és

432

-vel egyszerűsítve

\begin{matrix} 8 x^{2} + x - 0, 18 = 0 \end{matrix}

amiből (a negatív gyököt figyelmen kívül hagyva)

\begin{matrix} x = \frac{1}{10} óra, \end{matrix}

vagyis

8

óra

6

perc a keresett időpont.

Borbély János (Pápa, Türr István g. III. o. t.)