Kezdőlap


Feladat:	532. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bárdos A. , Bártfai P. , Beretvás T. , Biczó Géza , Boros P. , Csizár I. , Damjanovich S. , Deseő Z. , Eördögh L. , Gaál I. , Jámbor I. , Kardos P. , Kovács László (Debrecen) , Lábos E. , Lackner Györgyi , Orlik P. , Pergel J. , Quittner P. , Rédly E. , Roboz Ágnes , Rockenbauer Magda , Sóti F. , Szentai E. , Tilesch F. , Zawadowski Alfréd , Zsombok Z.
Füzet:	1953/december, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenlőtlenségek, Variációk, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 532. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lehetséges esetek az $1$ -től $6$ -ig terjedő $6$ számnak $3$ -ad osztályú ismétléses variációi, melyeknek száma $V_{6}^{2,3} = 6^{3} = 216$ .
a) Mivel $15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5$ azért a $15$ -ös dobás $P_{3}^{2} + P_{3} + 1 = \frac{3!}{2!} = 3_{3} + 3! + 1 = 3 + 6 + 1 = 10$ -féleképpen jöhet létre, amiből következik, hogy a nem $15$ -ös dobások száma $216 - 10 = 206$ .
Tehát annak valószínűsége, hogy $x$ dobás közül egyszer sem dobunk $15$ -öt

\begin{matrix} {(\frac{206}{216})}^{x} = {(\frac{103}{108})}^{x} . \end{matrix}

A keresett valószínűség akkor lesz

\frac{1}{2}

-nél nagyobb, ha az ellentétes

\frac{1}{2}

-nél kisebb, vagyis

\begin{matrix} {(\frac{103}{108})}^{x} < \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x > \frac{lg 2}{lg 108 - lg 103} \approx 14, 6, \end{matrix}

tehát legalább

15

-ször kell dobnunk.
b) Kedvező eset itt az a) feladat kedvező esetein kívül még

6 + 6 + 4 (= 16)

6 + 5 + 5 (= 16)

6 + 6 + 5 (= 17)

és

6 + 6 + 6 (= 18)

esetek és ezek permutációi. Tehát a összes kedvező esetek száma

\begin{matrix} 10 + 3 \cdot P_{3}^{2} + 1 = 11 + 3 \frac{3!}{2!} = 11 + 9 = 20. \end{matrix}

A kedvezőtlen esetek száma

216 - 20 = 196

. Tehát annak valószínűsége, hogy

x

dobással mindig csak legfeljebb i

4

-et dobunk

{(\frac{196}{216})}^{x} = {(\frac{49}{54})}^{x}

. A keresett valószínűség akkor lesz

\frac{1}{2}

-nél nagyobb, ha az ellentétes

\frac{1}{2}

-nél kisebb, vagyis

\begin{matrix} {(\frac{49}{54})}^{x} < \frac{1}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x > \frac{lg 2}{lg 54 - lg 49} \approx 7, 1. \end{matrix}

tehát legalább

8

kísérletet kell tennünk.

Biczó Géza (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)