| Feladat: | 528. matematika feladat | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): | Beretvás Tamás | ||
| Füzet: | 1953/november, 110. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Kocka, Hossz, kerület, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1953/március: 528. matematika feladat | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Valamely síkba fejthető felület (akár görbe felület, mint pl. kúp- vagy hengerfelület, akár soklap) pontját összekötő felületi görbe, ill. törtvonal között az a legrövidebb, amelynek síkbafejtése is a legrövidebb, azaz egyenes. ( Soklap esetén esetleg a többféle síkbafejtett hálózatnak megfelelő, különböző távolságok között kell a legrövidebbet kiválasztani).  Jelen esetben tehát keresni kell egy olyan síkbafejtett kockahálózatot, amelyen a kiindulási pont és végpont a hálózat határvonalának olyan két pontja, amelyek 1. a hálózat összeillesztése után a kockatesten egybeesnek, 2. amelyeknek összekötő egyenese áthalad mind a kockalapon oly utódon, hogy az összekötő egyenes minden pontja a hálózaton van. Könnyű meggyőződni, hogy az olyan kockahálózatok, amelyekben vagy kockalapból álló téglalapok találhatók, nem felelnek meg feltételeinknek és így az egyetlen feltételeinknek eleget tevő síkba fejtett hálózat az, amelyet ábránk mutat be. A többi hálózaton a és összekötése csak törtvonallal történhetik, amelyekről esetről esetre kimutatható, hogy hosszabbak. Az ábránkon bemutatott kifejtésben párhuzamos és egyenlő ‐ ill. -vel, mert . Mivel (vagy ) hossza kockalap átló, azért (ahol lehet az él bármely pontja) is állandóan . A legrövidebb útvonal tehát mind a élet alatt metszi és a kockatesten olyan hatszöget alkot, amelynek oldalai felváltva párhuzamosak az és szabályos háromszögek oldalaival, vagyis az útvonal benne van az (és ) síkjával párhuzamos síkban. Más szóval: a legrövidebb útvonal mindenkor egy a ponton átmenő és a testátlóra merőleges hatszögmetszet, amelynek kerülete az előbbiek szerint ‐ helyzetétől függetlenül ‐ állandóan .
|