Kezdőlap


Feladat:	527. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus G. , Bárdos A. , Beretvás T. , Biczó G. , Borka Z. , Csáki E. , Csernyák L. , Csiszár I. , Csonka P. , Damjanovich S. , Edvi Illés Judit , Farkas Ferenc , Gaál I. , Gutay L. , Gyapjas F. , Hammer E. , Horváth J. , Huszár k. , Jámbor I. , Kálmán Gy. , Kántor S. , Kelényi Judit , Kovács László (Debrecen) , Lábos E. , Lázár L. , Németh György , Papp Z. , Péntek L. , Pergel J. , Quittner P. , Radder Gy. , Rakenbauer M. , Roboz Ágnes , Sóti F. , Szabó Dániel , Szász L. , Szuromi L. , Theisz P. , Tóber E. , Tomor B. , Varga György (Baja) , Vass G. , Zawadowski Alfréd , Zobor E. , Zsombok Z.
Füzet:	1953/november, 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 527. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög bármely oldala szorozva a reá merőleges magassággal adja a háromszög kétszeres területét, tehát

\begin{matrix} 2 t = a d = b e = c f, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a = \frac{2 t}{d}, b = \frac{2 t}{e}, c = \frac{2 t}{f} . \end{matrix}

(1)

Heron képlete szerint

\begin{matrix} a = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 16 t^{2} = 2 s \cdot 2 (s - a) \cdot 2 (s - b) \cdot 2 (s - c) = \\ = (a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) . \end{matrix}

Az (1)alatti értékeket behelyettesítve

\begin{matrix} 16 t^{2} = (\frac{2 t}{d} + \frac{2 t}{e} + \frac{2 t}{f}) (- \frac{2 t}{d} + \frac{2 t}{e} + \frac{2 t}{f}) (\frac{2 t}{d} - \frac{2 t}{e} + \frac{2 t}{f}) (\frac{2 t}{d} + \frac{2 t}{f} - \frac{2 t}{f}) = \\ = 16 t^{4} (\frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f}) (- \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f}) (\frac{1}{d} - \frac{1}{e} + \frac{1}{f}) (\frac{1}{d} + \frac{1}{e} - \frac{1}{f}) . \end{matrix}

Ha az egyszerűség kedvéért a négy zárójeles tényező szorzatát

A

-val jelöljük akkor

\begin{matrix} 16 t^{4} A = 16 t^{2} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t^{2} = \frac{1}{A}, és így 2 t = \frac{2}{\sqrt[]{A}} . \end{matrix}

(2)

Ha a 2t-nek (2) alatti értéket (1)-be helyettesítjük, nyerjük, hogy

\begin{matrix} a = \frac{2}{d \sqrt[]{A}}, b = \frac{2}{e \sqrt[]{A}}, és c = \frac{2}{f \sqrt[]{A}}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} \sqrt[]{A} = \sqrt[]{(\frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f}) (- \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f}) (\frac{1}{d} - \frac{1}{e} + \frac{1}{f}) (\frac{1}{d} + \frac{1}{e} - \frac{1}{f})} . \end{matrix}

Farkas Ferenc (Nagykanizsa, Irányi D. g. III. o. t.)