Kezdőlap


Feladat:	526. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Deseő Zoltán
Füzet:	1953/november, 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 526. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a keresett pont koordinátáit $x$ és $y$ -nal jelöljük, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} x^{2} + {(y - 9)}^{2} = {(x - 6)}^{2} + {(y - 3)}^{2} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} [{(x + \frac{1}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2}] : [{(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{7}{2})}^{2}] = 4 : 9. \end{matrix}

(2)

(1)-ből nyerjük, tagokra bontás rendezés és összevonás után

\begin{matrix} y = x + 3 \end{matrix}

(3)

Ez a geometriai hely az

A B

távolságot merőlegesen felező egyenes. (2)-ből

\begin{matrix} 9 (x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} + y^{2} + 2 y + 1) = 4 (x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 7 y + \frac{49}{4}), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y - 15 = 0. \end{matrix}

(4)

Ez a geometriai hely tehát kör, az ismert Apollonius-féle kör.
A két geometriai hely közös pontjainak abszcisszáját megkapjuk, ha (3)-ból

y

értékét behelyettesítjük (4)-be.

\begin{matrix} x^{2} + {(x + 3)}^{2} + 6 x - 2 x - 6 - 15 = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{2} + 5 x - 6 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{1} & = 1, & és így & y_{1} & = 4, \\ x_{2} & = - 6, & és így & y_{2} & = - 3. \end{matrix}

Tehát két megoldás van:

P_{1} (1, 4)

és

P_{2} (- 6, - 3)

Deseő Zoltán (Bp., X., I. László g. III. n. t.)