Kezdőlap


Feladat:	525. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyapjas Ferenc , Lábos Elemér
Füzet:	1953/november, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/március: 525. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tegyük fel, hogy az új módszert megkapja
első kézből $x$ férfi és y nő
akkor a feladat szerint
második kézből, $x + x y$ férfi és $y + x y$ nő
harmadik kézből pedig

\begin{matrix} x + x y + (x + x y) (y + x y) férfi és y + x y + (y + x y) (x + x y) nő \end{matrix}

kapja meg.
Tehát ugyancsak a feladat szerint

\begin{matrix} x + x y + (x + x y) (y + x y) = 195 & (1) \\ y + x y + (y + x y) (x + x y) = 192 & (2) \end{matrix}

(1) és (2) különbsége

\begin{matrix} x - y = 3 \end{matrix}

(3)

(3)-ból

x

értékét (1)-be helyettesítve, miután előbb

(x + x y)

-t kiemeljük

\begin{matrix} (x + x y) (1 + y + x y) = (y^{2} + 4 x + 3) (y^{2} + 4 y + 1) = 195 \end{matrix}

(4)

Legyen

y^{2} + 4 y + 1 = z

, akkor (4) így alakul

\begin{matrix} (z + 2) z = 195 = 3 \cdot 5 \cdot 13, \end{matrix}

ahonnan, csak a pozitív megoldást tekintve

\begin{matrix} z = 13 és így y^{2} + 4 y + 1 = 13, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} y^{2} + 4 y - 12 = (y - 2) (y + 6) = 0, \end{matrix}

amiből (ismét csak a pozitív gyököt véve)

\begin{matrix} y = 2, x = y + 3 = 5. \end{matrix}

Gyapjas Ferenc (Bp., VIII., Széchenyi g. IV. D. t.)

II. megoldás: Legyen azoknak a férfiaknak és nőknek a száma, akik másodkézből vették át az újítást

u

ill.

v

. Akkor a feladat szerint harmadkézből

u + u v

férfi és

v + u v

nő kapta még az új módszert és így

\begin{matrix} u + u v = 195, & (1) \\ v + u v = 192 & (2) \end{matrix}

(1) és (2) különbségéből

u = v + 3

, amely értéket (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} v^{2} + 4 v - 192 = (v - 12) (v + 16) = 0, \end{matrix}

amiből a pozitív gyök

\begin{matrix} v = 12 és így u = v + 3 = 15., \end{matrix}

Ha az első kézből

x

férfi és

y

nő vette át, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} x + x y = 15, \\ y + x y = 12, \end{matrix}

amely egyenletrendszerből

\begin{matrix} x = 5. és y = 2. \end{matrix}

Lábos Elemér (Sátoraljaújhely, Kossuth g. II. o. t.)