Kezdőlap


Feladat:	523. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bujdosó Alpár
Füzet:	1953/november, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Variációk, Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/február: 523. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A lehetséges esetek száma: a $6$ elemből alkotott harmadosztályú ismétléses variációk száma, vagyis

\begin{matrix} V_{6}^{i,3} = 6^{3} = 216. \end{matrix}

A kedvező esetek: valamelyik kockalapon

6

-os, a másik kettőn nem

6

-os. Az esetek száma, amelyekben a

6

-os egy meghatározott lapon van, nyilván annyi, mint ahány másodosztályú ismétléses variáció képezhető

5

elemből, vagyis

\begin{matrix} V_{5}^{i,2} = 5^{2} = 25. \end{matrix}

De mivel a

3

kocka bármelyikén lehet a

6

-os, azért az összes kedvező esetek száma

3 \cdot 25 = 75

, és így a keresett valószínűség

\begin{matrix} V_{a} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72} (\approx 0, 347) . \end{matrix}

b) Egy kockán sincs

6

-os

V_{5}^{i,3} = 5^{3} = 125

esetben, tehát

216 - 125 = 91

esetben legalább egy kockán van

6

-os. Tehát a keresett valószínűség

\begin{matrix} V_{b} = \frac{91}{216} (\approx 0, 421) . \end{matrix}

c) Legfeljebb egy

6

-os azt jelenti, hogy vagy

α

) nincs

6

-os egy kockán sem, vagy

β

) egy is csakis egy kockán van

6

-os.

α

) esetben a valószínűség a b) feladat szerint

\frac{125}{216}

, a

β

) esetben pedig a valószínűség az a) feladat szerint

\frac{75}{216}

. Mivel e két eset kizárja egymást, azért a keresett valószínűség

\begin{matrix} V_{c} = \frac{125}{216} + \frac{75}{216} = \frac{200}{216} = \frac{25}{27} (\approx 0, 926) . \end{matrix}

Az a) és b) feladatok megoldása nélkül legegyszerűbben úgy járunk el, hogy kiszámítjuk a kedvezőtlen esetek számát, melyek következők:

I. Két kockán van

6

-os, a harmadikon nincs.
II. Mind a három kockán

6

-os van.

I. esetben, hogy egy meghatározott kockán nincs

6

-os ötféleképpen lehetséges és mivel a

3

kocka bármelyike lehet az a kocka, amelyen nincs

6

-os, azért az összes lehetséges esetek száma ebben az esetben

3 \cdot 5 = 15

.
A II. eset csak egyféleképpen jöhet létre.
Tehát a kedvezőtlen esetek száma 1

5 + 1 = 16

, és így a kedvező esetek száma

216 - 16 = 200

stb.

Bujdosó Alpár (Bp., II., Rákóczi g. III. o. t.)