Feladat: 518. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csiszár I. ,  Csonka P. ,  Rédly E. ,  Tomor Benedek ,  Zawadowski Alfréd 
Füzet: 1953/november, 99 - 100. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szinusztétel alkalmazása, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1953/február: 518. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt megállapíthatjuk, hogy x=0, y=0 értékek, mint gyökök nem jöhetnek tekintetbe. (1)-et (2)-vel szorozva, illetőleg osztva [(x2-y2)yx0] nyerjük. hogy

x4-y4=6,(3)
illetőleg
(x2+y2)x2(x2-y2)y2=6.

Ez utóbbi egyenletet átalakítva (xy)
x4-5x2y2+6y4=0(4)
A (4) egyenlet így is írható:
(x2-2y2)(x2-3y2)=0,
tehát vagy
x2=2y2és(3)-bőlyI4=2,x12=±22,(5)
vagy pedig
x2=3y2és(3)-bőlyII4=34,xII2=±32,(6)
A valós gyököket tekintve (1)-ből kitűnik, hogy a baloldal első tényezőjén kívül az xy tényezőnek is pozitívnak kell lennie, vagyis x és y csak egyenlő előjelűek lehetnek.
Tehát a valós gyökök
(5)-ből
x1=84,y1=24;x2=-84,y2=-24;
(6)-ból
x3=2744,y3=344;x4=-2744,y4=-344.

Tomor Benedek (Györ, Révai g. III. o. t.)

 
(Akik ismerik a képzetes számokat, azok (1)-ből megállapíthatják, hogy mivel a baloldal első tényezője negatív ‐ negatívnak kell lennie xy-nak is, vagyis a képzetes gyökök csak ellenkező előjellel párosíthatók. Tehát a képzetes gyökök:
x5=i84,y5=-i24;x6=-i84,y6=i24;x7=i2744,y7=-i344;x8=i2744,y8=i344.



Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy e gyökök is kielégítik egyenletrendszerünket.)