Kezdőlap


Feladat:	517. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bárdos András , Bártfai P. , Beliczky G. , Burger P. , Damjanovich S. , Dancs I. , Dósa K. , Döbrösy L. , Fálmon L. , Gaál A. , Gál A. , Gombás Gizella , Joó F. , Juhász A. , Kéri J. , Lábos Elemér , Lakatos A. , Lászlóffy A. , Lázár L. , Libisch R. , Majtényi I. , Maly Gy. , Molnár I. , Orlik Péter , Ott L. , Quittner P. , Rédly E. , Soós Klára , Szabó E. , Szűcs J. , Tomor B. , Világhy T. , Zawadowski Alfréd , Zobor E.
Füzet:	1953/november, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/február: 517. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az egyenlet gyökei a feladat szerint $x_{1}$ , $x_{2} = - x_{1}$ , és $x_{3}$ , és így gyöktényezős alakja

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x + x_{1}) (x - x_{3}) = (x^{2} - x_{1}^{2}) (x - x_{3}) = x^{3} - x_{3} x^{2} - x_{1}^{2} x + x_{1}^{2} x_{3} = 0 \end{matrix}

Az adott egyenlettel való összehasonlításból következik, hogy

\begin{matrix} x_{3} = 5, x_{1}^{2} = 9, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{1} = 3, x_{2} = - 3. \end{matrix}

Bárdos András (Bp. II., Rákóczi g. III. o. t.)

II. megoldás: Helyettesítsük az egyenletbe az egyenlő abszolút értékű, de különböző előjelű

2

gyököt

\begin{matrix} x_{1}^{3} - 5 x_{1}^{2} - 9 x_{1} + 45 & = 0, \\ - x_{1}^{3} - 5 x_{1}^{2} + 9 x_{1} + 45 & = 0. \end{matrix}

E két egyenletet összeadva

\begin{matrix} - 10 x_{1}^{2} + 90 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1}^{2} = 9 és x_{1} = 3, x_{2} = - 3. \end{matrix}

Az eredeti egyenlet több tagúját az

(x - 3)

és

(x + 3)

gyöktényezők szorzatával, vagyis

(x^{2} - 9)

-cel elosztva

\begin{matrix} (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) : (x^{2} - 9) = x - 5. \end{matrix}

Tehát

x - 5

a harmadik gyöktényező, és így

x_{3} = 5

Orlik Péter (Bp. V., Eötvös g. I. o. t.)

III. megoldás: Ha az egyenletnek vannak racionális gyökei, akkor ezek (mivel

x^{3}

együtthatója

1

) csak egész számok lehetnek, mégpedig

45

osztói. Mivel

2

gyök csak előjelben különbözik, azért

45

-nek e gyök négyzetével is oszthatónak kell lennie.

45

-nek

1

-en kívül csak egy négyzetszám osztója van:

9

1

nyilván nem gyöke egyenletünknek, de

+ 3

és

- 3

igen. Ha két gyök racionális, akkor szükségképpen racionális a harmadik is, mivel pedig

45 = 3^{2} \cdot 5

, azért a keresett harmadik gyök

x_{3} = 5

Soós Klára (Aszód, Petőfi g. IV. o. t.)

IV. megoldás: Egyenletünk természetesen megoldható a feladatban megadott könnyítés felhasználása nélkül.
Ugyanis egyenletünk így írható:

\begin{matrix} x^{2} (x - 5) - 9 (x - 5) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (x - 5) (x^{2} - 9) = 0, \end{matrix}

amiből vagy

\begin{matrix} x^{2} - 9 = 0, \end{matrix}

vagy pedig

\begin{matrix} x - 5 = 0 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{1} = 3, x_{2} = - 3, x_{3} = 5. \end{matrix}

Lábas Elemér (Sátoraljaújhely, Kossuth g. II. o. t.)