Kezdőlap


Feladat:	516. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal M. , Aujenszky G. , Babos K. , Borbély János , Burger P. , Csépány Gy. , Csiszár Imre , Dancs I. , Eördögh L. , Farkas Margit , Fekete J. , Gergely A. , Hegedüs Z. , Herceg J. , Horváth K. , Kárpáti L. , Kerekes P. , Köles F. , Martinusz I. , Máthé Á. , Miklóssy T. , Németh Gy. , Pál E. , Pap A. , Papp Z. , Perneczky L. , Quittner P. , Sárosdy J. , Sárosi J. , Sinkovics S. , Soós Klára , Szabó M. , Szarka A. , Szekeres L. , Telkes Z. , Tóber Ernő , Tóth E. , Vékony S. , Zawadowski Alfréd
Füzet:	1953/november, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/február: 516. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek az egyenlet gyökei $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ . Az egyenlet gyöktényezős alakja

\begin{matrix} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) (x - x_{4}) = \\ x^{4} - (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}) x^{3} + ... + x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 0 \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 14, \\ x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 120. \end{matrix}

De feladatunk szerint

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} & = 5, & (1) \\ x_{3} x_{4} & = 20 & (2) \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{3} + x_{4} = 9 \end{matrix}

(3)

illetőleg

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = 6 \end{matrix}

(4)

(1) és (4)-ből

\begin{matrix} x_{1} = 2 és x_{2} = 3, \end{matrix}

(2) és (3)-ból

\begin{matrix} x_{3} = 4 és x_{4} = 5, \end{matrix}

Csiszár Imre (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)

Egyenletünk természetesen megoldható a feladatban megadott adatok felhasználása nélkül is, amint azt az alábbi két megoldás mutatja.

II. megoldás: Mivel

x^{4}

együtthatója

1

, az egyenlet racionális gyökei csak azon egész számok közül kerülhetnek ki, amelyek az állandó tag, vagyis

120

-nak osztói. Egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy

x_{1} = 2

és

x_{2} = 3

kielégíti az egyenletet. Az

(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 5 x + 6

-tal osztva egyenletünk többtagúját, a hányados

\begin{matrix} x^{2} - 9 x + 20 = 0 \end{matrix}

szolgáltatja a másik két gyököt:

\begin{matrix} x_{3} = 4 és x_{4} = 5, \end{matrix}

Tóber Ernő (Nagykanizsa, Irányi D. g. III. o. t.)

III. megoldás: Mivel

\begin{matrix} {(x^{2} - 7 x + 11)}^{2} = x^{4} - 14 x^{3} + 71 x^{2} - 154 x + 121, \end{matrix}

azért egyenletünk így írható

\begin{matrix} {(x^{2} - 7 x + 11)}^{2} = 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x^{2} - 7 x + 11 = \pm 1, \end{matrix}

vagyis, vagy

\begin{matrix} x^{2} - 7 x + 10 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{1} = 2 és x_{2} = 5, \end{matrix}

vagy pedig

\begin{matrix} x^{2} - 7 x + 12 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{3} = 3, x_{4} = 4, \end{matrix}

Borbély János (Pápa, Türr István g. III. o. t.)