Kezdőlap


Feladat:	513. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rozsondai Béla
Füzet:	1953/november, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Egyenes körhengerek, Terület, felszín, Térfogat, Szöveges feladatok, Szögfüggvények a térben, Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 513. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a test fajsúlya $F$ , köbtartalma $K$ , a folyadék fajsúlya $f$ és a test áltat kiszorított folyadék térfogata $k$ , akkor Archimedes törvénye szerint

\begin{matrix} K F = k f, \end{matrix}

Jelen esetben

f = 1

-nek vehető, és így a keresett fajsúly

\begin{matrix} F = \frac{k}{K} . \end{matrix}

Jelöljük a henger alapkörének területét

T

-vel, és magasságát

m

-mel.

A kiszorított víz olyan egyenes hengernek tekinthető, amelynek alaplapja egy

t

területű körszelet és magassága ugyancsak

m

. Tehát

\begin{matrix} F = \frac{k}{K} = \frac{t m}{T m} = \frac{t}{T} . \end{matrix}

Ha az alapkör sugarát

r

-rel jelöljük, akkor

T = r^{2} π

. A körszelet ívéhez tartozó középponti szöget

α

-val jelölve. a feladat szerint (l. ábrát)

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} = \frac{\frac{r}{2}}{r} = \frac{1}{2}, vagyis \frac{α}{2} = 60^{\circ} és így α = 120^{\circ} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} t = \frac{r^{2} π}{3} - \frac{r}{2} \cdot \frac{r}{2} \sqrt[]{3} = r^{2} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) \end{matrix}

és így a keresett fajsúly

\begin{matrix} F = \frac{t}{T} = \frac{r^{2} (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4})}{r^{2} π} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4 π} \approx 0, 1955 gs cm^{- 3}. \end{matrix}

Rozsondai Béla (Sopron, Széchenyi g. IV. o. t.)