Kezdőlap


Feladat:	512. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bagi A. , Bali Gy. , Beretvás T. , Biczó G. , Bódás P. , Csáki E. , Csanády M. , Csépány Gy. , Csiszár I. , Csonka P. , Dancs I. , Deseő Z. , Dombi S. , Dömölki B. , Eöllős P. , Eördögh L. , Ferencz F. , Grätzer Gy. , Gutay L. , Gyapjas F. , Holbok S. , Kántor S. , Kerekes P. , Keresztély Sándor , Klafszky E. , Kovács László , Márkus T. , Martinusz E. , Mohos Béla , Molnár T. , Pál E. , Papp Z. , Pátkai Gy. , Pócsik I. , Quittner P. , Rácz M. , Radda Gy. , Rédly E. , Reichlin V. , Rozsondai B. , Rozsondai Z. , Sárosi J. , Schmidt E. , Surányi P. , Székely L. , Szelezsán L. , Tátrai A. , Tomor B. , Tóth Éva , Vass G.
Füzet:	1953/november, 90 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometrikus egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Tetraéderek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 512. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az ábra mutatja.

\begin{matrix} O A_{1} = ϱ = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt[]{3}}{2} = \frac{a \sqrt[]{3}}{6}, S A_{1} = m_{0} = \frac{ϱ}{cos φ} = \frac{a \sqrt[]{3}}{6 cos φ}, \end{matrix}

és igy

\begin{matrix} tg \frac{ε}{2} = \frac{a}{2 m_{0}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{6 cos φ}{a \sqrt[]{3}} = \sqrt[]{3} \cdot cos φ \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} tg \frac{ε}{2} = \sqrt[]{\frac{1 - cos ε}{1 + cos ε}}, \end{matrix}

(2)

vagyis

\begin{matrix} \frac{1 - cos ε}{1 + cos ε} = {tg}^{2} \frac{ε}{2} = 3 cos^{2} φ, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos ε = \frac{1 - 3 cos^{2} φ}{1 + 3 cos^{2} φ} . \end{matrix}

a) Ha

ε = 45^{\circ}

akkor

cos ε = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

,
vagyis

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{2}}{2} (1 + 3 cos^{2} φ) = 1 - 3 cos^{2} φ, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{2} + 3 \sqrt[]{2} cos^{2} φ = 2 - 6 cos^{2} φ, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} (6 + 3 \sqrt[]{2}) cos^{2} φ = 2 - \sqrt[]{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos^{2} φ = \frac{2 - \sqrt[]{2}}{6 + 3 \sqrt[]{2}} = \frac{(2 - \sqrt[]{2}) (6 - 3 \sqrt[]{2})}{36 - 18} = \frac{18 - 12 \sqrt[]{2}}{18} = \frac{3 - \sqrt[]{2}}{3} \approx \\ \approx \frac{0, 1716}{3} = 0, 0572 \end{matrix}

Az iskolai

4

-jegyű log. táblát használva

\begin{matrix} φ = 76^{\circ} 10' . \end{matrix}

b) Ha

φ = 45^{\circ}

, akkor

cos φ = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

és

cos^{2} φ = \frac{1}{2}

,
tehát

\begin{matrix} cos ε = \frac{1 - 3 \cdot \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 - 3}{2 + 3} = - \frac{1}{5}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos (180^{\circ} - ε) = \frac{1}{5} = 0, 2, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 180^{\circ} - ε = 78^{\circ} 28', \end{matrix}

és így

\begin{matrix} ε = 101^{\circ} 32' \end{matrix}

Keresztély Sándor (Miskolc, Földes Ferenc g. IV. o. t.)

II. megoldás: Ha az I. megoldás (1) alatti összefüggésben nem helyettesítjük be

tg \frac{ε}{2}

-nek (2) alatti értékét, hanem az alábbi képletet alkalmazzuk, akkor

\begin{matrix} tg ε = \frac{2 tg \frac{ε}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{ε}{2}} = \frac{2 \sqrt[]{2} \cdot cos φ}{1 - 3 \cdot cos φ} . \end{matrix}

A numerikus eredmények természetesen egyeznek az I. megoldáson nyert eredményekkel.

Kovács László (Debrecen, Ref. g. III. o. t.)

III. megoldás: Az

A_{1} O S

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} tg φ = \frac{m}{ϱ} = \frac{6 m}{a \sqrt[]{3}} = \frac{2 \sqrt[]{3} m}{a} . \end{matrix}

(1)

O B = \frac{2}{3} \cdot \frac{a}{2} \sqrt[]{3} = \frac{a}{3} \sqrt[]{3}

távolságot

r

-rel jelölve, a

B O S

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} sin \frac{ε}{2} = \frac{a}{2 S B} = \frac{a}{2 \sqrt[]{m^{2} + r^{2}}}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} sin^{2} \frac{ε}{2} = \frac{c^{2}}{4 (m^{2} + \frac{a^{2}}{3})} = \frac{3 a^{2}}{12 m^{2} + 4 a^{2}} . \end{matrix}

(2)

(1)-ből

\begin{matrix} m^{2} = \frac{a^{2} tg φ}{12}, \end{matrix}

amely értéket (2)-be helyettesítve és

a^{2}

-tel egyszerűsítve

\begin{matrix} sin^{2} \frac{ε}{2} = \frac{1 - cos ε}{2} = \frac{3}{{tg}^{2} φ + 4}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} cos ε = 1 - \frac{6}{{tg}^{2} φ + 4} = \frac{{tg}^{2} φ - 2}{{tg}^{2} φ + 4} . \end{matrix}

Mohos Béla (Pannonhalma, Benczés g. III. o. t.)