Kezdőlap


Feladat:	511. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bagi András , Kárpáti László , Klafszky Emil , Papp Zoltán
Füzet:	1953/november, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 511. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: $t$ , $α$ és $a$ között a területképletek szolgáltatnak összefüggést. Pl. kiindulva a

\begin{matrix} t = \frac{a m_{a}}{2} \end{matrix}

képletből, és az

m_{a} = \frac{a}{2 tg \frac{α}{2}}

helyettesítést elvégezve

\begin{matrix} t = \frac{a^{2}}{4 tg \frac{α}{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = 2 \sqrt[]{t \cdot tg \frac{α}{2}} \end{matrix}

Kárpáti László (Kecskemét, Piarista g. III. o. t.)

II. megoldás:.Az egyenlőszárú háromszög szárát

b

-vel jelölve és felhasználva a

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} b^{2} sin α \end{matrix}

képletet, a

b = \frac{a}{2 sin \frac{α}{2}}

helyettesítése után

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2} sin α}{4 sin^{2} \frac{α}{2}} = \frac{4^{2} \cdot 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}{8 sin^{2} \frac{α}{2}} = \frac{a^{2} cos \frac{α}{2}}{4 sin \frac{α}{2}} = \frac{a^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} \end{matrix}

ami egyezik az I. megoldásban nyert eredménnyel.

Bagi András (Bp. IX., Apáczai Csere János g. III. o. t.)

III. megoldás: Kiindulhatunk a

\begin{matrix} t = \frac{a^{2} sin β sin γ}{2 sin α} \end{matrix}

képletből is. Jelen esetben

β = γ = 90 - \frac{α}{2}

tehát

\begin{matrix} t = \frac{a^{2} cos^{2} \frac{α}{2}}{4 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}} = \frac{a^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Klafszky Emil (Győr, Révai g. IV. o. t. )

IV. megoldás: Még Heron képlete is célhoz vezet:

\begin{matrix} 1 = \sqrt[]{\frac{2 b + a}{2} \cdot \frac{2 b - a}{2} \cdot \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{4} \sqrt[]{4 b^{2} - a^{2}} . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} b = \frac{a}{2 sin \frac{α}{2}} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} t = \frac{a}{4} \sqrt[]{\frac{4 a^{2}}{4 sin^{2} \frac{α}{2}} - a^{2}} = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{\frac{1 - sin^{2} \frac{α}{2}}{sin^{2} \frac{α}{2}}} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{cos \frac{α}{2}}{sin \frac{α}{2}} = \frac{a^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Papp Zoltán (Sárospatak, Rákóczi g. III. o. t.)