Kezdőlap


Feladat:	510. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bali György , Biczó G. , Horváth J. , Keresztély S. , Kéri J. , Kriskó F. , Nagy S. , Nyilasi B. , Paitz J. , Richter A. , Sáfrán L. , Séra I. , Vastag György
Füzet:	1953/november, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Magasságvonal, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 510. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük $s_{a}$ és $m_{a}$ talppontját $A_{1}$ ill. $A_{2}$ -vel (1. ábra) és legyen $A_{1} A_{2} = d$ .

1. ábra

s_{a}

m_{a}

, és

d

ismeretlenekre ‐ Pythagoras tétele alapján ‐ a következő három egyenlet állítható fel:

\begin{matrix} s_{a}^{2} & = m_{a}^{2} + d^{2}, & (1) \\ b^{2} & = m_{a}^{2} + {(\frac{a}{2} + d)}^{2}, & (2) \\ c^{2} & = m_{a}^{2} + {(\frac{a}{2} - d)}^{2} . & (3) \end{matrix}

(1)-böl

m_{a}^{2} = s_{a}^{2} - d^{2}

. Ezen értéket (2) és (3)-ba helyettesítve

\begin{matrix} b^{2} & = s_{a}^{2} - d^{2} + \frac{a^{2}}{4} + a d + d^{4} & (4) \\ c^{2} & = s_{a}^{2} - d^{2} + \frac{a^{2}}{4} - a d + d^{2} & (5) \end{matrix}

(4) és (5) összege

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = 2 s_{a}^{2} + \frac{a^{2}}{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 2 s_{a}^{2} = b^{2} + c^{2} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} s_{a} = \frac{\sqrt[]{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}}{2} \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} s_{b} = \frac{\sqrt[]{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}}{2} és s_{c} = \frac{\sqrt[]{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}}{2} . \end{matrix}

Bali György (Gyöngyös, Vak Bottyán g. IV. o. t.)

II. megoldás: Legyen

A

tükörképe a

B C

oldal

A_{1}

felezőpontjára nézve

A'

. (2.ábra.)

2. ábra

A B A' C

paralelogrammára alkalmazva az ismeretes tételt, mely szerint a négy oldal négyzeteinek összege egyenlő az átlók négyzeteinek összegével (L. II. oszt. tankönyv)

\begin{matrix} 2 (b^{2} + c^{2}) = {(2 s_{a})}^{2} + a^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 4 s_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} s_{a} = \frac{\sqrt[]{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}}{2} \end{matrix}

Vastag György (Bp. XXI., Jedlik A. g. III. o. t.)