Kezdőlap


Feladat:	509. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dancs István
Füzet:	1953/november, 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1953/január: 509. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználva a $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α$ , $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ és $\frac{sin α}{cos α} = tg α$ azonosságokat (és feltételezve hogy $α \neq k \frac{π}{4}$ , ahol $k = 0,1,2 ...$ ) egyenlőségünk bármely oldala könnyen átalakítható az ellenkező oldallá.
Pl. kiindulva a jobboldalból

\begin{matrix} \frac{1 + cos 2 α}{cos 2 α} = \frac{1 + cos^{2} α - sin^{2} α}{cos^{2} α - sin^{2} α} = \frac{2 cos^{2} α}{cos^{2} α - sin^{2} α} = \frac{2}{1 - \frac{sin^{2} α}{cos^{2} α}} = \frac{2}{2 - {tg}^{2} α} . \end{matrix}

Felhasználhatjuk a

{tg}^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{1 + cos 2 α}

képletet is. Pl. kiindulva a baloldalból

\begin{matrix} \frac{2}{1 - {tg}^{2} α} = \frac{2}{1 - \frac{1 - cos 2 α}{1 + cos 2 α}} = \frac{2 (1 + cos 2 α)}{1 + cos 2 α - (1 - cos 2 α)} = \frac{2 (1 + cos 2 α)}{2 cos 2 α} = \\ = \frac{1 + cos 2 α}{cos 2 α} \end{matrix}

Dancs István (Pannonhalma, Bencés g. IV. o. t.)